Question

En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ y $BC=4.$ Si las perpendiculares a $\overline{AB}$ por $A$ y a $\overline{BC}$ por $C$ se cortan en $D,$ entonces $CD=$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=3,$ and $BC=4.$ If perpendiculars constructed to $\overline{AB}$ at $A$ and to $\overline{BC}$ at $C$ meet at $D,$ then $CD=$

$3$

$\frac8{\sqrt3}$

$5$

$\frac{11}{2}$

$\frac{10}{\sqrt3}$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica perpendicular lines distance

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca $B=(0,0)$ y $A=(3,0)$

Place $B=(0,0)$ and $A=(3,0)$

Pista grande:

Usa el ángulo de $120^\circ$ para ubicar $C,$ y luego parametriza la recta que pasa por $C$ y es perpendicular a $BC$

Use the $120^\circ$ angle to locate $C,$ then parametrize the line through $C$ perpendicular to $BC$

Solución:

Sean $B=(0,0)$ y $A=(3,0).$ Entonces $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ La perpendicular a $AB$ por $A$ es $x=3.$ Un vector perpendicular a $BC=(-2,2\sqrt3)$ es $(\sqrt3,1),$ así que la otra perpendicular es $C+t(\sqrt3,1).$ Su coordenada $x$ es $3$ cuando $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Como $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $B=(0,0)$ and $A=(3,0).$ Then $\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}$ The perpendicular to $AB$ at $A$ is $x=3.$ A vector perpendicular to $BC=(-2,2\sqrt3)$ is $(\sqrt3,1),$ so the other perpendicular is $C+t(\sqrt3,1).$ Its $x$ -coordinate is $3$ when $t=\frac{5}{\sqrt3}.$ Since $|(\sqrt3,1)|=2,$ $CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.$

Thus the correct answer is E.

1992 AMC 12 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años