1969 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Si se sabe que $\log_2a+\log_2b\ge6,$ entonces el menor valor que puede tomar $a+b$ es:

If it is known that $\log_2a+\log_2b\ge6,$ then the least value that can be taken on by $a+b$ is:

$2\sqrt6$

$6$

$8\sqrt2$

$16$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo Desigualdad MA-MG optimización

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Combina los logaritmos para acotar $ab$

Combine the logarithms to bound $ab$

Pista grande:

Aplica $a+b\ge2\sqrt{ab}$

Apply $a+b\ge2\sqrt{ab}$

Solución:

La condición logarítmica da $\log_2(ab)\ge6,$ así que $ab\ge64.$ Por la desigualdad AM-GM, $a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.$ La igualdad se alcanza cuando $a=b=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The logarithm condition gives $\log_2(ab)\ge6,$ so $ab\ge64.$ By AM-GM, $a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.$ Equality is attained at $a=b=8.$

Therefore, the correct answer is D.

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