Question

Si $T_n=1+2+3+\cdots+n$ y $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}$ para $n=2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ entonces ¿a cuál de los siguientes números se aproxima más $P_{1991}$ ?

If $T_n=1+2+3+\cdots+n$ and $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}$ for $n=2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ then $P_{1991}$ is closest to which of the following numbers?

$2.0$

$2.3$

$2.6$

$2.9$

$3.2$

Respuesta: D

Conceptos:telescoping product número triangular approximation

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Factoriza $T_k-1$ y simplifica cada factor $\frac{T_k}{T_k-1}$

Factor $T_k-1$ and simplify each factor $\frac{T_k}{T_k-1}$

Pista grande:

Escribe cada factor como $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ y cancela telescópicamente

Write each factor as $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ and telescope

Solución:

Como $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ y $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},$ $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.$ El producto se cancela telescópicamente: $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}$ Para $n=1991,$ esto es un poco menor que $3$ y se aproxima más a $2.9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ and $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},$ $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.$ The product telescopes: $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}$ For $n=1991,$ this is just under $3$ and is closest to $2.9.$

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años