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1984 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

El área total de todas las caras de un prisma rectangular es 22 cm2,22\text{ cm}^2, y la longitud total de todas sus aristas es 24 cm.24\text{ cm}. Entonces la longitud en centímetros de cualquiera de sus diagonales interiores es

The total area of all the faces of a rectangular solid is 22 cm2,22\text{ cm}^2, and the total length of all its edges is 24 cm.24\text{ cm}. Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

11\sqrt{11}

12\sqrt{12}

13\sqrt{13}

14\sqrt{14}

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: D
Conceptos:prisma rectangularárea de superficiediagonal
Nivel de dificultad: 1770
Pista pequeña:

Sean las longitudes de las aristas x,y,zx,y,z y traduce ambos totales en ecuaciones

Let the side lengths be x,y,zx,y,z and translate both totals into equations

Pista grande:

Expande (x+y+z)2(x+y+z)^2 para hallar x2+y2+z2x^2+y^2+z^2

Expand (x+y+z)2(x+y+z)^2 to find x2+y2+z2x^2+y^2+z^2

Solución:

Las condiciones dan 2(xy+xz+yz)=222(xy+xz+yz)=22 y 4(x+y+z)=24,4(x+y+z)=24, así que xy+xz+yz=11xy+xz+yz=11 y x+y+z=6.x+y+z=6. Por tanto, el cuadrado de una diagonal interior es x2+y2+z2=62−2(11)=14. x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14. Su longitud es 14.\sqrt{14}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The conditions give 2(xy+xz+yz)=222(xy+xz+yz)=22 and 4(x+y+z)=24,4(x+y+z)=24, so xy+xz+yz=11xy+xz+yz=11 and x+y+z=6.x+y+z=6. Hence the square of an internal diagonal is x2+y2+z2=62−2(11)=14. x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14. Its length is 14.\sqrt{14}.

Therefore, the correct answer is D.

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El Problema 25 en otros años

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