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1984 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Si aa y bb son números reales positivos y cada una de las ecuaciones x2+ax+2b=0,x2+2bx+a=0 \begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned} tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de a+ba+b es

If aa and bb are positive real numbers and each of the equations x2+ax+2b=0,x2+2bx+a=0 \begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned} has real roots, then the smallest possible value of a+ba+b is

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Respuesta: E
Conceptos:cuadráticadesigualdad
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:

Exige que los discriminantes de las dos ecuaciones cuadráticas sean no negativos

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

Pista grande:

Combina a2≥8ba^2\ge8b y b2≥ab^2\ge a para acotar aa y bb

Combine a2≥8ba^2\ge8b and b2≥ab^2\ge a to bound aa and bb

Solución:

Los dos discriminantes dan a2≥8ba^2\ge8b y b2≥a.b^2\ge a. Por lo tanto, a4≥64b2≥64a. a^4\ge64b^2\ge64a. Como a>0,a\gt0, esto implica a≥4,a\ge4, y entonces b2≥a≥4b^2\ge a\ge4 da b≥2.b\ge2. Así, a+b≥6.a+b\ge6. La igualdad ocurre cuando a=4,b=2,a=4,b=2, y ambos discriminantes son cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two discriminants give a2≥8ba^2\ge8b and b2≥a.b^2\ge a. Therefore a4≥64b2≥64a. a^4\ge64b^2\ge64a. Since a>0,a\gt0, this yields a≥4,a\ge4, and then b2≥a≥4b^2\ge a\ge4 gives b≥2.b\ge2. Thus a+b≥6.a+b\ge6. Equality occurs at a=4,b=2,a=4,b=2, for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

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