Question

Sea $p(x)=x^2+bx+c,$ donde $b$ y $c$ son enteros. Si $p(x)$ es un factor tanto de

$x^4+6x^2+25$

como de

$3x^4+4x^2+28x+5,$ ¿cuánto vale $p(1)$ ?

Let $p(x)=x^2+bx+c,$ where $b$ and $c$ are integers. If $p(x)$ is a factor of both

$x^4+6x^2+25$

and

$3x^4+4x^2+28x+5,$ what is $p(1)?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:polynomial factor linear combination Gauss lemma

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Un factor común divide toda combinación lineal entera de los dos polinomios

A common factor divides every integer linear combination of the two polynomials

Pista grande:

Resta el segundo polinomio de tres veces el primero

Subtract the second polynomial from three times the first

Solución:

El factor común $p(x)$ divide $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}$ Como $p(x)$ es mónico y tiene coeficientes enteros, el lema de Gauss implica que divide $x^2-2x+5.$ Ambos polinomios son mónicos y tienen el mismo grado, así que $p(x)=x^2-2x+5.$ Por tanto, $p(1)=1-2+5=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The common factor $p(x)$ divides $\begin{aligned} &3(x^4+6x^2+25)\\ &\quad{}-(3x^4+4x^2+28x+5)\\ &\qquad=14(x^2-2x+5). \end{aligned}$ Because $p(x)$ is monic with integer coefficients, Gauss’s lemma implies that it divides $x^2-2x+5.$ The two polynomials are monic and have the same degree, so $p(x)=x^2-2x+5.$ Hence $p(1)=1-2+5=4.$

Thus the correct answer is D.

1986 AMC 12 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años