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1966 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1966 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1966 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Si log⁡MN=log⁡NM,\log_MN=\log_NM, M≠N,M\ne N, MN>0,MN\gt0, y M≠1,M\ne1, N≠1,N\ne1, entonces MNMN es igual a:

If log⁡MN=log⁡NM,\log_MN=\log_NM, M≠N,M\ne N, MN>0,MN\gt0, and M≠1,M\ne1, N≠1,N\ne1, then MNMN equals:

12\dfrac12

11

22

1010

un número mayor que 22 y menor que 1010

a number greater than 22 and less than 1010

Respuesta: B
Conceptos:manipulación algebraicalogaritmo
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:

Escribe ambos logaritmos mediante logaritmos naturales

Write both logarithms using natural logs

Pista grande:

La igualdad da (ln⁡M)2=(ln⁡N)2(\ln M)^2=(\ln N)^2; usa M≠NM\ne N

The equality gives (ln⁡M)2=(ln⁡N)2(\ln M)^2=(\ln N)^2; use M≠NM\ne N

Solución:

El cambio de base da ln⁡Nln⁡M=ln⁡Mln⁡N, \frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N}, por lo que (ln⁡M)2=(ln⁡N)2.(\ln M)^2=(\ln N)^2. La igualdad de los propios logaritmos daría M=N,M=N, lo cual está excluido. Por ello, ln⁡M=−ln⁡N,\ln M=-\ln N, y ln⁡(MN)=0.\ln(MN)=0. Así, MN=1.MN=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Change of base gives ln⁡Nln⁡M=ln⁡Mln⁡N, \frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N}, so (ln⁡M)2=(ln⁡N)2.(\ln M)^2=(\ln N)^2. Equality of the logs themselves would give M=N,M=N, which is excluded. Hence ln⁡M=−ln⁡N,\ln M=-\ln N, and ln⁡(MN)=0.\ln(MN)=0. Thus MN=1.MN=1.

Therefore, the correct answer is B.

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