Question

Sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ ¿Cuántos números reales $x$ satisfacen la ecuación $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x$ ?

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to $x.$ How many real numbers $x$ satisfy the equation $x^2+10{,}000\lfloor x\rfloor=10{,}000x?$

$197$

$198$

$199$

$200$

$201$

Solución:

Sea $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.$ La ecuación se convierte en $x^2=10{,}000\{x\},$ así que $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.$ Como $0\le\{x\}\lt1,$ necesitamos $0\le x^2\lt10{,}000,$ es decir $-100\lt x\lt100.$

En cada intervalo $[k,k+1)$ , escribe $x=k+t$ con $0\le t\lt1$ . La ecuación se convierte en $(k+t)^2-10{,}000t=0$ , cuyo lado izquierdo es estrictamente decreciente y cambia de signo exactamente una vez. Estos intervalos van para $k=-100,-99,\ldots,98,$ dando $199$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor.$ The equation becomes $x^2=10{,}000\{x\},$ so $\tfrac{x^2}{10{,}000}=\{x\}.$ Since $0\le\{x\}\lt1,$ we need $0\le x^2\lt10{,}000,$ i.e. $-100\lt x\lt100.$

On each interval $[k,k+1)$ , write $x=k+t$ with $0\le t\lt1$ . The equation becomes $(k+t)^2-10{,}000t=0$ , whose left side is strictly decreasing and changes sign exactly once. These intervals run for $k=-100,-99,\ldots,98,$ giving $199$ solutions.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años