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2015 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2015 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Cuatro círculos, de los cuales no hay dos congruentes, tienen centros en A,A, B,B, C,C, y D,D, y los puntos PP y QQ están en los cuatro círculos. El radio del círculo AA es 58\dfrac58 veces el radio del círculo B,B, y el radio del círculo CC es 58\dfrac58 veces el radio del círculo D.D. Además, AB=CD=39AB = CD = 39 y PQ=48.PQ = 48. Sea RR el punto medio de PQ‾.\overline{PQ}. ¿Cuánto es AR+BR+CR+DRAR + BR + CR + DR?

Four circles, no two of which are congruent, have centers at A,A, B,B, C,C, and D,D, and points PP and QQ lie on all four circles. The radius of circle AA is 58\dfrac58 times the radius of circle B,B, and the radius of circle CC is 58\dfrac58 times the radius of circle D.D. Furthermore, AB=CD=39AB = CD = 39 and PQ=48.PQ = 48. Let RR be the midpoint of PQ‾.\overline{PQ}. What is AR+BR+CR+DR?AR + BR + CR + DR?

180180

184184

188188

192192

196196

Respuesta: D
Conceptos:eje radicalmediatrizTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:

Todos los A,B,C,D,RA, B, C, D, R están en la mediatriz de PQ,PQ, y PR=24PR = 24.

All of A,B,C,D,RA, B, C, D, R lie on the perpendicular bisector of PQ,PQ, and PR=24PR = 24

Pista grande:

Con AR=yAR = y y razón de radios 5:8,5{:}8, usa y2+242=25x2y^2 + 24^2 = 25x^2 y (39−y)2+242=64x2(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2

With AR=yAR = y and radius ratio 5:8,5{:}8, use y2+242=25x2y^2 + 24^2 = 25x^2 and (39−y)2+242=64x2(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2

Solución:

Como cada centro equidista de PP y Q,Q, los cuatro centros y RR están en la mediatriz de PQ,PQ, con PR=24.PR=24. Consideremos primero dos centros cuyos radios están en razón 5:85{:}8 y cuya distancia es 39.39. Si RR está entre ellos, sea y=ARy = AR y sea x=15x = \tfrac15 del radio del círculo AA. Entonces y2+242=25x2y^2 + 24^2 = 25x^2 y (39−y)2+242=64x2.(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2. Al restar, x2=39−2y,x^2 = 39 - 2y, de modo que y2+50y−399=0y^2 + 50y - 399 = 0 y y=7.y=7. Aquí x=5,x=5, así que las distancias de los centros a RR son 77 y 32,32, y los radios son 2525 y 40.40.

Si los dos centros están del mismo lado de R,R, sus distancias son ww y w+39.w+39. Las ecuaciones análogas dan w2−50w−399=0,w^2-50w-399=0, de donde w=57,w=57, y las distancias son 5757 y 96.96. En este caso los radios son 51535\sqrt{153} y 8153.8\sqrt{153}. Usar la misma colocación para ambos pares (A,B)(A,B) y (C,D)(C,D) produciría dos círculos congruentes de cada radio, en contra de la hipótesis. Por tanto, cada par usa una colocación distinta. Sus sumas de distancias son 7+32=397+32=39 y 57+96=153,57+96=153, así que el total pedido es 39+153=192.39+153=192.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since every center is equidistant from PP and Q,Q, all four centers and RR lie on the perpendicular bisector of PQ,PQ, with PR=24.PR=24. First consider two centers whose radii are in the ratio 5:85{:}8 and whose distance apart is 39.39. If RR lies between them, let y=ARy = AR and x=15x = \tfrac15 of circle AA’s radius. Then y2+242=25x2y^2 + 24^2 = 25x^2 and (39−y)2+242=64x2.(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2. Subtracting gives x2=39−2y,x^2 = 39 - 2y, so y2+50y−399=0y^2 + 50y - 399 = 0 and y=7.y=7. Here x=5,x=5, so the two center distances from RR are 77 and 32,32, and the radii are 2525 and 40.40.

If instead the two centers lie on the same side of R,R, their distances are ww and w+39.w+39. The analogous equations give w2−50w−399=0,w^2-50w-399=0, hence w=57,w=57, and the distances are 5757 and 96.96. In this case the radii are 51535\sqrt{153} and 8153.8\sqrt{153}. Using the same placement for both pairs (A,B)(A,B) and (C,D)(C,D) would give two congruent circles of each radius, contrary to the hypothesis. Thus one pair uses each placement. Their distance sums are 7+32=397+32=39 and 57+96=153,57+96=153, so the requested total is 39+153=192.39+153=192.

Thus, the correct answer is D.

Problema 23#23
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Problema 25#25

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