Question

Cuatro círculos, de los cuales no hay dos congruentes, tienen centros en $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ y los puntos $P$ y $Q$ están en los cuatro círculos. El radio del círculo $A$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $B,$ y el radio del círculo $C$ es $\dfrac58$ veces el radio del círculo $D.$ Además, $AB = CD = 39$ y $PQ = 48.$ Sea $R$ el punto medio de $\overline{PQ}.$ ¿Cuánto es $AR + BR + CR + DR$ ?

Four circles, no two of which are congruent, have centers at $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ and points $P$ and $Q$ lie on all four circles. The radius of circle $A$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $B,$ and the radius of circle $C$ is $\dfrac58$ times the radius of circle $D.$ Furthermore, $AB = CD = 39$ and $PQ = 48.$ Let $R$ be the midpoint of $\overline{PQ}.$ What is $AR + BR + CR + DR?$

$180$

$184$

$188$

$192$

$196$

Solución:

Como cada centro es equidistante de $P$ y $Q,$ los cuatro centros y $R$ están en la mediatriz de $PQ,$ con $PR = 24.$ Supón que $R$ está entre $A$ y $B.$ Sea $y = AR$ y $x = \tfrac15$ del radio del círculo $A$ . Entonces $y^2 + 24^2 = 25x^2$ y $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Restando da $x^2 = 39 - 2y,$ así que $y^2 + 50y - 399 = 0$ y $y = 7.$ Así $AR = 7$ y $BR = 32.$

Como los círculos no son congruentes, $R$ no está entre $C$ y $D.$ Las ecuaciones análogas dan $w^2 - 50w - 399 = 0$ con $w = CR = 57,$ así que $DR = 96.$ La suma es $7 + 32 + 57 + 96 = 192.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since every center is equidistant from $P$ and $Q,$ all four centers and $R$ lie on the perpendicular bisector of $PQ,$ with $PR = 24.$ Suppose $R$ lies between $A$ and $B.$ Let $y = AR$ and $x = \tfrac15$ of circle $A$ 's radius. Then $y^2 + 24^2 = 25x^2$ and $(39 - y)^2 + 24^2 = 64x^2.$ Subtracting gives $x^2 = 39 - 2y,$ so $y^2 + 50y - 399 = 0$ and $y = 7.$ Thus $AR = 7$ and $BR = 32.$

Because the circles are noncongruent, $R$ does not lie between $C$ and $D.$ The analogous equations give $w^2 - 50w - 399 = 0$ with $w = CR = 57,$ so $DR = 96.$ The sum is $7 + 32 + 57 + 96 = 192.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años