Question

Sea $f(x)$ $=\tiny\log_{10}\big(\sin(\pi x)\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x)\cdots\sin(8\pi x)\big).$ La intersección del dominio de $f(x)$ con el intervalo $[0,1]$ es una unión de $n$ intervalos abiertos disjuntos. ¿Cuánto vale $n$ ?

Let $f(x)$ $=\tiny\log_{10}\big(\sin(\pi x)\cdot\sin(2\pi x)\cdot\sin(3\pi x)\cdots\sin(8\pi x)\big).$ The intersection of the domain of $f(x)$ with the interval $[0,1]$ is a union of $n$ disjoint open intervals. What is $n?$

$2$

$12$

$18$

$22$

$36$

Solución:

Sea $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x);$ el dominio de $f$ es donde $g(x)\gt0.$ Como $\sin(k\pi(1-x))$ $=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x)$ y $\sum_{k=1}^8(k+1)$ es par, $g(1-x)=g(x),$ así que basta estudiar $\big(0,\tfrac12\big)$ y duplicar.

En $\big(0,\tfrac12\big)$ los ceros de $g$ son las fracciones $\tfrac{k}{n}$ con $2\le n\le8,$ $1\le k\lt\tfrac n2,$ y $\gcd(k,n)=1.$ Para $n=2,\ldots,8$ hay $0,1,1,2,1,3,2$ de ellos, en total $10.$

Estos $10$ ceros dividen $\big(0,\tfrac12\big)$ en $11$ subintervalos en los que $g$ tiene signo constante. Cerca de $0$ todo factor es positivo, así que $g\gt0$ ahí, y el signo cambia en cada cero excepto en $\tfrac14=\tfrac28$ y $\tfrac13=\tfrac26,$ donde se anula un número par de factores.

Siguiendo los signos, exactamente $6$ de los $11$ subintervalos tienen $g\gt0.$ Por simetría hay $6$ más en $\big(\tfrac12,1\big),$ así que $n=12.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $g(x)=\prod_{k=1}^8\sin(k\pi x);$ the domain of $f$ is where $g(x)\gt0.$ Since $\sin(k\pi(1-x))$ $=(-1)^{k+1}\sin(k\pi x)$ and $\sum_{k=1}^8(k+1)$ is even, $g(1-x)=g(x),$ so it suffices to study $\big(0,\tfrac12\big)$ and double.

In $\big(0,\tfrac12\big)$ the zeros of $g$ are the fractions $\tfrac{k}{n}$ with $2\le n\le8,$ $1\le k\lt\tfrac n2,$ and $\gcd(k,n)=1.$ For $n=2,\ldots,8$ there are $0,1,1,2,1,3,2$ of them, totaling $10.$

These $10$ zeros split $\big(0,\tfrac12\big)$ into $11$ subintervals on which $g$ has constant sign. Near $0$ every factor is positive, so $g\gt0$ there, and the sign flips at each zero except $\tfrac14=\tfrac28$ and $\tfrac13=\tfrac26,$ where an even number of factors vanish.

Tracking the signs, exactly $6$ of the $11$ subintervals have $g\gt0.$ By symmetry there are $6$ more in $\big(\tfrac12,1\big),$ so $n=12.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años