Question

Para cada entero $n\gt 1,$ sea $F(n)$ el número de soluciones de la ecuación $\sin x=\sin nx$ en el intervalo $[0,\pi].$ ¿Cuánto vale $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)$ ?

For each integer $n\gt 1,$ let $F(n)$ be the number of solutions of the equation $\sin x=\sin nx$ on the interval $[0,\pi].$ What is $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)?$

$2{,}014{,}524$

$2{,}015{,}028$

$2{,}015{,}033$

$2{,}016{,}532$

$2{,}017{,}033$

Respuesta: D

Conceptos:trigonometría conteo de intersecciones sumatoria

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

$F(n)$ cuenta las intersecciones de $y=\sin x$ y $y=\sin nx$ en $[0,\pi],$ usualmente dos por cada joroba de $\sin nx$ .

$F(n)$ counts intersections of $y=\sin x$ and $y=\sin nx$ on $[0,\pi],$ usually two per hump of $\sin nx$

Pista grande:

$F(n)=n+1$ excepto cuando $n\equiv 1\pmod 4,$ donde un máximo compartido lo reduce a $n$ .

$F(n)=n+1$ except when $n\equiv 1\pmod 4,$ where a shared maximum drops it to $n$

Solución:

En cada intervalo donde $\sin nx\ge 0$ , las gráficas de $\sin x$ y $\sin nx$ se encuentran dos veces, a menos que compartan allí el valor $1$ , en cuyo caso se encuentran una vez. Contando las jorobas y el extremo en $(\pi,0)$ se obtiene lo siguiente.

$F(n)=n+1$ cuando $n$ es par o $n\equiv 3\pmod 4,$ y $F(n)=n$ cuando $n\equiv 1\pmod 4.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}. \end{aligned}$ La primera suma es $2{,}017{,}033,$ y hay $501$ valores $n\equiv 1\pmod 4$ en el rango, lo que da $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

On each interval where $\sin nx\ge 0,$ the graphs of $\sin x$ and $\sin nx$ meet twice, unless they share the value $1$ there, in which case they meet once. Counting the humps and the endpoint at $(\pi,0)$ gives

$F(n)=n+1$ when $n$ is even or $n\equiv 3\pmod 4,$ and $F(n)=n$ when $n\equiv 1\pmod 4.$

Thus $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}. \end{aligned}$ The first sum is $2{,}017{,}033,$ and there are $501$ values $n\equiv 1\pmod 4$ in the range, giving $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años