Question

¿Para cuántos enteros $n$ entre $1$ y $50,$ inclusive, es $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ un entero? (Recuerda que $0! = 1.$ )

For how many integers $n$ between $1$ and $50,$ inclusive, is $\dfrac{(n^2 - 1)!}{(n!)^n}$ an integer? (Recall that $0! = 1.$ )

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Solución:

Para un primo $p,$ la condición de ser un entero se reduce (mediante la fórmula de Legendre) a $n \cdot s_p(n) \ge s_p(n^2 - 1) + 1,$ donde $s_p$ es la suma de dígitos en base $p$ . Esto solo puede fallar cuando $s_p(n) = 1,$ es decir, cuando $n = p^a$ es una potencia de primo.

Para $n = p^a,$ el requisito se convierte en $p^a - 1 \ge 2a(p - 1).$ Revisando las potencias de primo hasta $50,$ esto falla exactamente para cada primo $n$ y para $n = 4.$

Hay $15$ primos como máximo $50,$ más $n = 4,$ dando $16$ fracasos. Por lo tanto $50 - 16 = 34$ valores de $n$ funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a prime $p,$ the condition to be an integer reduces (via Legendre's formula) to $n \cdot s_p(n) \ge s_p(n^2 - 1) + 1,$ where $s_p$ is the base- $p$ digit sum. This can fail only when $s_p(n) = 1,$ i.e. $n = p^a$ is a prime power.

For $n = p^a,$ the requirement becomes $p^a - 1 \ge 2a(p - 1).$ Checking prime powers up to $50,$ this fails exactly for every prime $n$ and for $n = 4.$

There are $15$ primes at most $50,$ plus $n = 4,$ giving $16$ failures. Hence $50 - 16 = 34$ values of $n$ work.

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años