Respuesta: D

Pista pequeña:

Compara el exponente de un primo $p$ en el numerador y el denominador usando $v_p(m!) = \dfrac{m - s_p(m)}{p - 1}$

Pista grande:

El fracaso requiere que $n$ sea una potencia de primo $p^a$ con $p^a - 1 \lt 2a(p - 1)$

Solución:

Fijemos un primo $p\le n.$ Por la fórmula de Legendre, la diferencia entre el exponente de $p$ en el numerador y en el denominador es $$\begin{aligned} D_p &=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n^2-1}{p^k}\right\rfloor\\ &\quad-n\sum_{k\ge1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k}\right\rfloor. \end{aligned}$$ Si $r_k$ es el residuo de $n$ módulo $p^k,$ el $k$-ésimo sumando es $\left\lfloor\dfrac{nr_k-1}{p^k}\right\rfloor.$

Sea $a=v_p(n).$ Los primeros $a$ sumandos son $-1.$ Si $n$ no es potencia de $p,$ escribamos $n=p^a m$ con $m\ge2.$ Cuando $a\ge1,$ el siguiente sumando es al menos $\dfrac{n}{p}-1\ge a,$ y todos los posteriores son no negativos; cuando $a=0,$ todos los sumandos ya son no negativos. Por tanto, $D_p\ge0$ salvo que $n$ sea potencia de $p.$

Para $n=p^a,$ la fórmula de Legendre reduce la condición a $p^a-1\ge2a(p-1).$ Entre las potencias de primo no mayores que $50,$ esto falla exactamente cuando $a=1$ (es decir, cuando $n$ es primo) y cuando $n=2^2=4.$ Hay $15$ primos no mayores que $50,$ más $n=4,$ para un total de $16$ fallos. Por tanto, funcionan $50 - 16 = 34$ valores de $n$.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.