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2017 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2017 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El cuadrilátero ABCDABCD está inscrito en la circunferencia OO y tiene lados AB=3,AB=3, BC=2,BC=2, CD=6,CD=6, y DA=8.DA=8. Sean XX y YY puntos sobre BDBD tales que DXBD=14\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4} y BYBD=1136.\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}. Sea EE la intersección de la recta AXAX y la recta que pasa por YY paralela a AD.AD. Sea FF la intersección de la recta CXCX y la recta que pasa por EE paralela a AC.AC. Sea GG el punto de la circunferencia OO distinto de CC que está sobre la recta CX.CX. ¿Cuánto vale XF⋅XGXF\cdot XG?
Quadrilateral ABCDABCD is inscribed in circle OO and has sides AB=3,AB=3, BC=2,BC=2, CD=6,CD=6, and DA=8.DA=8. Let XX and YY be points on BDBD such that DXBD=14\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4} and BYBD=1136.\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}. Let EE be the intersection of line AXAX and the line through YY parallel to AD.AD. Let FF be the intersection of line CXCX and the line through EE parallel to AC.AC. Let GG be the point on circle OO other than CC that lies on line CX.CX. What is XF⋅XG?XF\cdot XG?
1717
59−523\dfrac{59-5\sqrt2}{3}
91−1234\dfrac{91-12\sqrt3}{4}
67−1023\dfrac{67-10\sqrt2}{3}
1818
Respuesta: A
Conceptos:semejanzapotencia de un puntoley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Los paralelismos dan △XEY∼△XAD\triangle XEY\sim\triangle XAD y △XEF∼△XAC\triangle XEF\sim\triangle XAC
The parallels give △XEY∼△XAD\triangle XEY\sim\triangle XAD and △XEF∼△XAC\triangle XEF\sim\triangle XAC
Pista grande:
Combina esas razones con la potencia de un punto para obtener XF⋅XG=XB⋅XY;XF\cdot XG=XB\cdot XY; halla BD2BD^2 mediante la ley de cosenos
Combine those ratios with Power of a Point to get XF⋅XG=XB⋅XY;XF\cdot XG=XB\cdot XY; find BD2BD^2 via Law of Cosines
Solución:
Como YE∥ADYE\parallel AD y EF∥AC,EF\parallel AC, obtenemos △XEY∼△XAD\triangle XEY\sim\triangle XAD y △XEF∼△XAC,\triangle XEF\sim\triangle XAC, lo que da XYXE=XDXA\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA} y XFXE=XCXA.\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}. Por lo tanto XCXD=XFXY,\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY}, así que XF⋅XD=XC⋅XY.XF\cdot XD=XC\cdot XY.
La potencia del punto XX da XC⋅XG=XD⋅XB,XC\cdot XG=XD\cdot XB, y al combinar se obtiene XF⋅XG=XB⋅XY.XF\cdot XG=XB\cdot XY. Con d=BD,d=BD, DX=14dDX=\dfrac14 d y BY=1136d,BY=\dfrac{11}{36}d, así que XF⋅XG=(d−14d)⋅(d−14d−1136d)=34d⋅49d=d23. \begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}
Como ABCDABCD es cíclico, ∠BAD\angle BAD y ∠BCD\angle BCD son suplementarios. La ley de cosenos en △ABD\triangle ABD y △CBD\triangle CBD da 73−d248=d2−4024,\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24}, así que d2=51.d^2=51. Por lo tanto XF⋅XG=513=17.XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Because YE∥ADYE\parallel AD and EF∥AC,EF\parallel AC, we get △XEY∼△XAD\triangle XEY\sim\triangle XAD and △XEF∼△XAC,\triangle XEF\sim\triangle XAC, giving XYXE=XDXA\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA} and XFXE=XCXA.\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}. Hence XCXD=XFXY,\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY}, so XF⋅XD=XC⋅XY.XF\cdot XD=XC\cdot XY.
Power of a Point at XX gives XC⋅XG=XD⋅XB,XC\cdot XG=XD\cdot XB, and combining yields XF⋅XG=XB⋅XY.XF\cdot XG=XB\cdot XY. With d=BD,d=BD, DX=14dDX=\dfrac14 d and BY=1136d,BY=\dfrac{11}{36}d, so XF⋅XG=(d−14d)⋅(d−14d−1136d)=34d⋅49d=d23. \begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}
Since ABCDABCD is cyclic, ∠BAD\angle BAD and ∠BCD\angle BCD are supplementary. The Law of Cosines on △ABD\triangle ABD and △CBD\triangle CBD gives 73−d248=d2−4024,\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24}, so d2=51.d^2=51. Therefore XF⋅XG=513=17.XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.
Thus, the correct answer is A.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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