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2020 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Supón que △ABC\triangle ABC es un triángulo equilátero de lado s,s, con la propiedad de que existe un único punto PP dentro del triángulo tal que AP=1,AP = 1, BP=3,BP = \sqrt{3}, y CP=2.CP = 2. ¿Cuánto vale ss?
Suppose that △ABC\triangle ABC is an equilateral triangle of side length s,s, with the property that there is a unique point PP inside the triangle such that AP=1,AP = 1, BP=3,BP = \sqrt{3}, and CP=2.CP = 2. What is s?s?
1+21 + \sqrt{2}
7\sqrt{7}
83\dfrac{8}{3}
5+5\sqrt{5 + \sqrt{5}}
222\sqrt{2}
Respuesta: B
Conceptos:triángulo equiláterocuadrática
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Para un punto a distancias p,q,rp, q, r de los vértices de un triángulo equilátero de lado s,s, los cuatro valores satisfacen 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2
For a point at distances p,q,rp, q, r from the vertices of an equilateral triangle of side s,s, the four values satisfy 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2
Pista grande:
Sustituye p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4r^2 = 4 y resuelve la ecuación cuadrática resultante en s2s^2
Substitute p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4r^2 = 4 and solve the resulting quadratic in s2s^2
Solución:
Un punto a distancias p,q,rp, q, r de los vértices de un triángulo equilátero de lado ss satisface 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2.= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.
Con p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4,r^2 = 4, tomando S=s2S = s^2 se obtiene 3(26+S2)=(8+S)2,3(26 + S^2) = (8 + S)^2, así que S2−8S+7=0S^2 - 8S + 7 = 0 y S=1S = 1 o S=7.S = 7.
Un triángulo de lado 11 no puede contener un punto a distancia 22 de un vértice, así que S=7S = 7 y s=7.s = \sqrt{7}.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
A point at distances p,q,rp, q, r from the vertices of an equilateral triangle of side ss satisfies 3(p4+q4+r4+s4)3(p^4 + q^4 + r^4 + s^4) =(p2+q2+r2+s2)2.= (p^2 + q^2 + r^2 + s^2)^2.
With p2=1,p^2 = 1, q2=3,q^2 = 3, r2=4,r^2 = 4, letting S=s2S = s^2 gives 3(26+S2)=(8+S)2,3(26 + S^2) = (8 + S)^2, so S2−8S+7=0S^2 - 8S + 7 = 0 and S=1S = 1 or S=7.S = 7.
A triangle of side 11 cannot contain a point at distance 22 from a vertex, so S=7S = 7 and s=7.s = \sqrt{7}.
Thus, B is the correct answer.
Problema 23#23
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Problema 25#25

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