Question

Sea $\triangle A_0 B_0 C_0$ un triángulo cuyas medidas angulares son exactamente $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ y $60.001^\circ.$ Para cada entero positivo $n$ define $A_n$ como el pie de la altura desde $A_{n-1}$ a la recta $B_{n-1}C_{n-1}.$ Del mismo modo, define $B_n$ como el pie de la altura desde $B_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}C_{n-1},$ y $C_n$ como el pie de la altura desde $C_{n-1}$ a la recta $A_{n-1}B_{n-1}.$ ¿Cuál es el menor entero positivo $n$ para el cual $\triangle A_n B_n C_n$ es obtuso?

Let $\triangle A_0 B_0 C_0$ be a triangle whose angle measures are exactly $59.999^\circ,$ $60^\circ,$ and $60.001^\circ.$ For each positive integer $n$ define $A_n$ to be the foot of the altitude from $A_{n-1}$ to line $B_{n-1}C_{n-1}.$ Likewise, define $B_n$ to be the foot of the altitude from $B_{n-1}$ to line $A_{n-1}C_{n-1},$ and $C_n$ to be the foot of the altitude from $C_{n-1}$ to line $A_{n-1}B_{n-1}.$ What is the least positive integer $n$ for which $\triangle A_n B_n C_n$ is obtuse?

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Solución:

Para un triángulo acutángulo, el triángulo órtico (pies de las alturas) tiene ángulos $180^\circ - 2\alpha$ para cada ángulo original $\alpha.$

Escribiendo un ángulo como $60^\circ + x,$ el nuevo ángulo es $60^\circ - 2x,$ así que cada desviación respecto a $60^\circ$ se multiplica por $-2.$ Las desviaciones iniciales son $\pm 0.001^\circ.$

Después de $n$ pasos, una desviación tiene magnitud $0.001 \cdot 2^n$ grados. El triángulo se vuelve obtuso por primera vez cuando esto supera $30^\circ,$ es decir $2^n \gt 30000.$ Como $2^{14} = 16384$ y $2^{15} = 32768,$ el menor tal $n$ es $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles $180^\circ - 2\alpha$ for each original angle $\alpha.$

Writing an angle as $60^\circ + x,$ the new angle is $60^\circ - 2x,$ so each deviation from $60^\circ$ is multiplied by $-2.$ The initial deviations are $\pm 0.001^\circ.$

After $n$ steps a deviation has magnitude $0.001 \cdot 2^n$ degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds $30^\circ,$ i.e. $2^n \gt 30000.$ Since $2^{14} = 16384$ and $2^{15} = 32768,$ the least such $n$ is $15.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años