Question

Se eligen al azar e independientemente tres puntos en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres distancias por pares entre los puntos sean menores que el radio del círculo?

Three points are chosen randomly and independently on a circle. What is the probability that all three pairwise distances between the points are less than the radius of the circle?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{24}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

Solución:

Una cuerda tiene longitud menor que el radio exactamente cuando el arco que subtiende es menor que $60^\circ,$ ya que la cuerda de un arco de $60^\circ$ es igual al radio.

Las tres cuerdas por pares son más cortas que el radio precisamente cuando los tres puntos están todos dentro de algún arco de $60^\circ.$

La probabilidad de que $n$ puntos al azar estén todos dentro de algún arco de ángulo $L$ es $n\left(\dfrac{L}{2\pi}\right)^{n-1}.$ Con $n = 3$ y $L = \dfrac{\pi}{3}$ (es decir, $\dfrac{L}{2\pi} = \dfrac{1}{6}$ ), la probabilidad es $3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A chord has length less than the radius exactly when the arc it subtends is less than $60^\circ,$ since a chord of a $60^\circ$ arc equals the radius.

All three pairwise chords are shorter than the radius precisely when the three points all lie within some arc of $60^\circ.$

The probability that $n$ random points all lie within some arc of angle $L$ is $n\left(\dfrac{L}{2\pi}\right)^{n-1}.$ With $n = 3$ and $L = \dfrac{\pi}{3}$ (that is, $\dfrac{L}{2\pi} = \dfrac{1}{6}$ ), the probability is $3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años