Question

Considera sucesiones de números reales positivos de la forma $x, 2000, y, \ldots,$ en las que cada término después del primero es $1$ menos que el producto de sus dos vecinos inmediatos. ¿Para cuántos valores diferentes de $x$ aparece el término $2001$ en algún lugar de la sucesión?

Consider sequences of positive real numbers of the form $x, 2000, y, \ldots,$ in which every term after the first is $1$ less than the product of its two immediate neighbors. For how many different values of $x$ does the term $2001$ appear somewhere in the sequence?

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Solución:

Si $a, b, c$ son términos consecutivos, entonces $b = ac - 1,$ así que $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Aplicando esto repetidamente, los primeros cinco términos son $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ después de lo cual $a$ y $b$ reaparecen, así que la sucesión es periódica con periodo $5.$

Aquí $b = 2000$ es el segundo término. El valor $2001$ se puede colocar en cualquiera de las otras cuatro de las cinco posiciones distintas, y cada elección determina $x = a$ de forma única y produce una sucesión válida de reales positivos.

Así que hay $4$ valores de $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $a, b, c$ are consecutive terms then $b = ac - 1,$ so $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Applying this repeatedly, the first five terms are $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ after which $a$ and $b$ recur, so the sequence is periodic with period $5.$

Here $b = 2000$ is the second term. The value $2001$ can be placed in any one of the other four of the five distinct positions, and each choice determines $x = a$ uniquely and yields a valid sequence of positive reals.

So there are $4$ values of $x.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años