Question

Considera sucesiones de números reales positivos de la forma $x,$ $2000,$ $y,$ $\ldots,$ en las que cada término después del primero es $1$ menos que el producto de sus dos vecinos inmediatos. ¿Para cuántos valores diferentes de $x$ aparece el término $2001$ en algún lugar de la sucesión?

Consider sequences of positive real numbers of the form $x,$ $2000,$ $y,$ $\ldots,$ in which every term after the first is $1$ less than the product of its two immediate neighbors. For how many different values of $x$ does the term $2001$ appear somewhere in the sequence?

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Respuesta: D

Conceptos:recursión análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La condición $b = ac - 1$ se reordena a $c = \dfrac{1 + b}{a},$ lo que te permite avanzar

The condition $b = ac - 1$ rearranges to $c = \dfrac{1 + b}{a},$ letting you march forward

Pista grande:

Hacer esto repetidamente muestra que la sucesión es periódica con periodo $5,$ así que $2001$ solo puede ser uno de cinco términos

Doing this repeatedly shows the sequence is periodic with period $5,$ so $2001$ can only be one of five terms

Solución:

Si $a, b, c$ son términos consecutivos, entonces $b = ac - 1,$ así que $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Aplicando esto repetidamente, los primeros cinco términos son $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ después de lo cual $a$ y $b$ reaparecen, así que la sucesión es periódica con periodo $5.$

Aquí $b = 2000$ es el segundo término. Al igualar a $2001$ cada uno de los otros cuatro términos mostrados se obtiene, respectivamente, $\begin{gathered} a=2001,\quad a=1,\\ a=\frac{2001}{4001999},\quad a=4001999. \end{gathered}$ Estos cuatro valores son positivos y distintos. El segundo término vale $2000,$ y la periodicidad muestra que no hay otras posiciones que considerar.

Así que hay $4$ valores de $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $a, b, c$ are consecutive terms then $b = ac - 1,$ so $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Applying this repeatedly, the first five terms are $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ after which $a$ and $b$ recur, so the sequence is periodic with period $5.$

Here $b = 2000$ is the second term. Setting each of the other four displayed terms equal to $2001$ gives, respectively, $\begin{gathered} a=2001,\quad a=1,\\ a=\frac{2001}{4001999},\quad a=4001999. \end{gathered}$ These four values are positive and distinct. The second term itself is $2000,$ and periodicity shows there are no other positions to consider.

So there are $4$ values of $x.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años