Respuesta: E

Pista pequeña:

Para el caso par $k=2j,$ los números mostrados son $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ para $n\ge 10^{j}$.

Pista grande:

Demuestra que $f(2j)=\dfrac{10^{2j}}{4}+10^{j},$ luego suma sobre $j$.

Solución:

Tomemos $k=2j.$ El menor cuadrado perfecto con $k+1$ cifras es $10^{k}=(10^{j})^2,$ y después de que Silvia borra las cifras, los números mostrados son $\left\lfloor \frac{n^2}{10^{k}}\right\rfloor$ para $n=10^{j}, 10^{j}+1,\ldots$

Sea $M=10^k.$ Un salto de al menos $2$ de $n$ a $n+1$ exige $(n+1)^2-n^2=2n+1\gt M,$ así que escribimos $n=\frac{M}{2}+m$ con $m\ge0.$ El caso $m=0$ produce un salto de solo $1,$ de modo que el primer salto mayor tiene $m\ge1.$ Sean $A=\left\lfloor \frac{n^2}{M}\right\rfloor$ y $B=\left\lfloor\frac{(n+1)^2}{M}\right\rfloor.$ Como $M$ es divisible por $4,$ $$\begin{aligned} A&=\dfrac M4+m+\left\lfloor\dfrac{m^2}{M}\right\rfloor,\\ B&=\dfrac M4+m+1\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{(m+1)^2}{M}\right\rfloor. \end{aligned}$$

Por tanto, el primer salto de al menos $2$ ocurre para el primer $m$ tal que $m^2\lt M\le(m+1)^2.$ Como $\sqrt M=10^j,$ este valor es $m=10^j-1.$ El último valor mostrado antes del hueco es $\frac{M}{4}+10^j-1,$ así que el menor entero ausente es $$f(2j)=\dfrac{10^{2j}}4+10^j.$$

Sumando para $j=1,\ldots,1008,$ $$\begin{gathered} \sum_{j=1}^{1008}f(2j)\\ =25\sum_{j=0}^{1007}10^{2j}\\ {}+10\sum_{j=0}^{1007}10^{j}\\ =\underbrace{2525\cdots25}_{2016\text{ dígitos}}\\ {}+\underbrace{111\cdots10}_{1009\text{ dígitos}}. \end{gathered}$$ No hay acarreos, así que la suma de cifras es $1008\cdot(2+5)$ $+1008\cdot 1=1008\cdot 8=8064.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.