Question

Para un entero positivo $n$ y dígitos no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ sea $A_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de los cuales es igual a $a;$ sea $B_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de los cuales es igual a $b;$ y sea $C_n$ el entero de $2n$ dígitos (no de $n$ dígitos) cada uno de los cuales es igual a $c.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a + b + c$ para el que hay al menos dos valores de $n$ tales que $C_n - B_n = A_n^2$ ?

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a;$ let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b;$ and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Solución:

Usando $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ y $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ la ecuación $C_n - B_n = A_n^2$ se convierte, tras dividir por $10^n - 1$ y eliminar fracciones, en $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ Para que esto se cumpla en dos valores diferentes de $n,$ el coeficiente de $10^n$ debe ser cero, así que $9c = a^2$ y por lo tanto $9b - 9c - a^2 = 0.$

Entonces $c = \tfrac{a^2}{9}$ y $b = 2c.$ Así que $a \in \{3, 6, 9\}$ con $c \in \{1, 4, 9\}$ y $b \in \{2, 8, 18\};$ el caso $b = 18$ no es un dígito. Las ternas válidas son $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ y $(6, 8, 4),$ y en efecto $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ La mayor suma de dígitos es $6 + 8 + 4 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ the equation $C_n - B_n = A_n^2$ becomes, after dividing by $10^n - 1$ and clearing fractions, $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ For this to hold at two different $n,$ the coefficient of $10^n$ must be zero, so $9c = a^2$ and hence $9b - 9c - a^2 = 0.$

Then $c = \tfrac{a^2}{9}$ and $b = 2c.$ So $a \in \{3, 6, 9\}$ with $c \in \{1, 4, 9\}$ and $b \in \{2, 8, 18\};$ the case $b = 18$ is not a digit. The valid triples are $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ and $(6, 8, 4),$ and indeed $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ The greater digit sum is $6 + 8 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años