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2018 AMC 12A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Para un entero positivo nn y dígitos no nulos a,a, b,b, y c,c, sea AnA_n el entero de nn dígitos cada uno de los cuales es igual a a;a; sea BnB_n el entero de nn dígitos cada uno de los cuales es igual a b;b; y sea CnC_n el entero de 2n2n dígitos (no de nn dígitos) cada uno de los cuales es igual a c.c. ¿Cuál es el mayor valor posible de a+b+ca + b + c para el que hay al menos dos valores de nn tales que Cn−Bn=An2C_n - B_n = A_n^2?
For a positive integer nn and nonzero digits a,a, b,b, and c,c, let AnA_n be the nn-digit integer each of whose digits is equal to a;a; let BnB_n be the nn-digit integer each of whose digits is equal to b;b; and let CnC_n be the 2n2n-digit (not nn-digit) integer each of whose digits is equal to c.c. What is the greatest possible value of a+b+ca + b + c for which there are at least two values of nn such that Cn−Bn=An2?C_n - B_n = A_n^2?
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2020
Respuesta: D
Conceptos:dígitosmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
Escribe An=a⋅10n−19,A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, e igualmente BnB_n y Cn=c⋅102n−19,C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}, luego sustituye en Cn−Bn=An2C_n - B_n = A_n^2
Write An=a⋅10n−19,A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, and likewise BnB_n and Cn=c⋅102n−19,C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}, then substitute into Cn−Bn=An2C_n - B_n = A_n^2
Pista grande:
Exigirlo para dos valores de nn obliga a que el coeficiente de 10n10^n se anule: 9c=a29c = a^2 y 9b−9c=a29b - 9c = a^2
Requiring it for two values of nn forces the coefficient of 10n10^n to vanish: 9c=a29c = a^2 and 9b−9c=a29b - 9c = a^2
Solución:
Usando An=a⋅10n−19,A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, Bn=b⋅10n−19,B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, y Cn=c⋅102n−19,C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}, la ecuación Cn−Bn=An2C_n - B_n = A_n^2 se convierte, tras dividir por 10n−110^n - 1 y eliminar fracciones, en (9c−a2)⋅10n=9b−9c−a2. (9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2. Para que esto se cumpla en dos valores diferentes de n,n, el coeficiente de 10n10^n debe ser cero, así que 9c=a29c = a^2 y por lo tanto 9b−9c−a2=0.9b - 9c - a^2 = 0.
Entonces c=a29c = \tfrac{a^2}{9} y b=2c.b = 2c. Así que a∈{3,6,9}a \in \{3, 6, 9\} con c∈{1,4,9}c \in \{1, 4, 9\} y b∈{2,8,18};b \in \{2, 8, 18\}; el caso b=18b = 18 no es un dígito. Las ternas válidas son (a,b,c)=(3,2,1)(a, b, c) = (3, 2, 1) y (6,8,4),(6, 8, 4), y en efecto 4444−88=4356=662.4444 - 88 = 4356 = 66^2. La mayor suma de dígitos es 6+8+4=18.6 + 8 + 4 = 18.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Using An=a⋅10n−19,A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, Bn=b⋅10n−19,B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}, and Cn=c⋅102n−19,C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}, the equation Cn−Bn=An2C_n - B_n = A_n^2 becomes, after dividing by 10n−110^n - 1 and clearing fractions, (9c−a2)⋅10n=9b−9c−a2. (9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2. For this to hold at two different n,n, the coefficient of 10n10^n must be zero, so 9c=a29c = a^2 and hence 9b−9c−a2=0.9b - 9c - a^2 = 0.
Then c=a29c = \tfrac{a^2}{9} and b=2c.b = 2c. So a∈{3,6,9}a \in \{3, 6, 9\} with c∈{1,4,9}c \in \{1, 4, 9\} and b∈{2,8,18};b \in \{2, 8, 18\}; the case b=18b = 18 is not a digit. The valid triples are (a,b,c)=(3,2,1)(a, b, c) = (3, 2, 1) and (6,8,4),(6, 8, 4), and indeed 4444−88=4356=662.4444 - 88 = 4356 = 66^2. The greater digit sum is 6+8+4=18.6 + 8 + 4 = 18.
Thus, the correct answer is D.
Problema 24#24
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