Question

Un conjunto de $n$ personas participa en un torneo de baloncesto por video en línea. Cada persona puede ser miembro de cualquier número de equipos de $5$ jugadores, pero no puede haber dos equipos con exactamente los mismos $5$ miembros. Las estadísticas del sitio muestran un hecho curioso: el promedio, sobre todos los subconjuntos de tamaño $9$ del conjunto de $n$ participantes, del número de equipos completos cuyos miembros están entre esas $9$ personas es igual al recíproco del promedio, sobre todos los subconjuntos de tamaño $8$ del conjunto de $n$ participantes, del número de equipos completos cuyos miembros están entre esas $8$ personas. ¿Cuántos valores de $n,$ $9 \le n \le 2017,$ pueden ser el número de participantes?

A set of $n$ people participate in an online video basketball tournament. Each person may be a member of any number of $5$ -player teams, but no two teams may have exactly the same $5$ members. The site statistics show a curious fact: The average, over all subsets of size $9$ of the set of $n$ participants, of the number of complete teams whose members are among those $9$ people is equal to the reciprocal of the average, over all subsets of size $8$ of the set of $n$ participants, of the number of complete teams whose members are among those $8$ people. How many values $n,$ $9 \le n \le 2017,$ can be the number of participants?

$477$

$482$

$487$

$557$

$562$

Solución:

Sea $T$ el número de equipos. Sumar sobre los subconjuntos de tamaño $9$ cuenta cada equipo $\binom{n-5}{4}$ veces, y sobre los de tamaño $8$ lo cuenta $\binom{n-5}{3}$ veces. Los promedios son $\dfrac{\binom{n-5}{4}T}{\binom n9}$ y $\dfrac{\binom{n-5}{3}T}{\binom n8};$ al igualar el primero al recíproco del segundo y simplificar se obtiene $\begin{aligned} &T \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}. \end{aligned}$ Necesitamos que esto sea un entero positivo con $n \ge 9.$ Sea $N =$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4);$ como producto de cinco enteros consecutivos, $N$ siempre es divisible entre $5.$ Al revisar los residuos, $7 \mid N,$ $9 \mid N,$ y $32 \mid N$ se cumplen cada uno para un conjunto fijo de residuos, lo que da $5 \cdot 7 \cdot 8 = 280$ soluciones módulo $1008.$ Así que hay $560$ valores en $1 \le n \le 2016;$ quitando $n = 1, 2, 3, 4$ (que son menores que $9$ ) y agregando $n = 2017$ (ya que $2017 \equiv 1 \pmod{1008}$ ), se obtiene $560 - 4 + 1 = 557$ valores válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $T$ be the number of teams. Summing over size- $9$ subsets counts each team $\binom{n-5}{4}$ times and over size- $8$ subsets $\binom{n-5}{3}$ times. The averages are $\dfrac{\binom{n-5}{4}T}{\binom n9}$ and $\dfrac{\binom{n-5}{3}T}{\binom n8};$ setting the first equal to the reciprocal of the second and simplifying gives $\begin{aligned} &T \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}. \end{aligned}$ We need this to be a positive integer with $n \ge 9.$ Let $N =$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4);$ as a product of five consecutive integers, $N$ is always divisible by $5.$ Checking residues, $7 \mid N,$ $9 \mid N,$ and $32 \mid N$ each hold for a fixed set of residues, giving $5 \cdot 7 \cdot 8 = 280$ solutions modulo $1008.$ So there are $560$ values in $1 \le n \le 2016;$ removing $n = 1, 2, 3, 4$ (which are below $9$ ) and adding $n = 2017$ (since $2017 \equiv 1 \pmod{1008}$ ) gives $560 - 4 + 1 = 557$ valid values.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años