Soluciones del 2017 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La colección de cómics de Kymbrea tiene actualmente $30$ cómics, y ella la aumenta a razón de $2$ cómics por mes. La colección de LaShawn tiene actualmente $10$ cómics, y él la aumenta a razón de $6$ cómics por mes. ¿Después de cuántos meses la colección de LaShawn tendrá el doble de cómics que la de Kymbrea?

Kymbrea’s comic book collection currently has $30$ comic books in it, and she is adding to her collection at the rate of $2$ comic books per month. LaShawn’s collection currently has $10$ comic books in it, and he is adding to his collection at the rate of $6$ comic books per month. After how many months will LaShawn’s collection have twice as many comic books as Kymbrea’s?

$1$

$4$

$5$

$20$

$25$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Después de $m$ meses las colecciones tienen $30 + 2m$ y $10 + 6m$ cómics

After $m$ months the collections hold $30 + 2m$ and $10 + 6m$ comic books

Pista grande:

Plantea $10 + 6m = 2(30 + 2m)$ y despeja $m$ .

Set $10 + 6m = 2(30 + 2m)$ and solve for $m$

Solución:

Después de $m$ meses, Kymbrea tiene $30 + 2m$ cómics y LaShawn tiene $10 + 6m.$ Al plantear $10 + 6m = 2(30 + 2m)$ se obtiene $10 + 6m = 60 + 4m,$ de modo que $2m = 50$ y $m = 25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After $m$ months, Kymbrea has $30 + 2m$ comic books and LaShawn has $10 + 6m.$ Setting $10 + 6m = 2(30 + 2m)$ gives $10 + 6m = 60 + 4m,$ so $2m = 50$ and $m = 25.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Los números reales $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen las desigualdades

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,$ y $1 \lt z \lt 2.$

¿Cuál de los siguientes números es necesariamente positivo?

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the inequalities

$0 \lt x \lt 1, \quad -1 \lt y \lt 0,$ and $1 \lt z \lt 2.$

Which of the following numbers is necessarily positive?

$y + x^2$

$y + xz$

$y + y^2$

$y + 2y^2$

$y + z$

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Como $y \gt -1$ y $z \gt 1,$ ¿qué puedes decir sobre $y + z$ ?

Since $y \gt -1$ and $z \gt 1,$ what can you say about $y + z?$

Pista grande:

Para las otras cuatro, prueba $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32$ para forzar un valor negativo

For the other four, try $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32$ to force a negative value

Solución:

Al sumar $y \gt -1$ y $z \gt 1$ se obtiene $y + z \gt 0,$ de modo que $y + z$ es siempre positivo. Cada una de las otras cuatro opciones puede hacerse negativa: con $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32,$ cada uno de $y + x^2,$ $y + xz,$ $y + y^2,$ y $y + 2y^2$ es negativo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $y \gt -1$ and $z \gt 1$ gives $y + z \gt 0,$ so $y + z$ is always positive. Each of the other four choices can be made negative: with $x = \tfrac18,$ $y = -\tfrac14,$ $z = \tfrac32,$ every one of $y + x^2,$ $y + xz,$ $y + y^2,$ and $y + 2y^2$ is negative.

Thus, the correct answer is E.

3.

Supongamos que $x$ y $y$ son números reales no nulos tales que

$\frac{3x + y}{x - 3y} = -2.$

¿Cuál es el valor de $\frac{x + 3y}{3x - y}?$

Suppose that $x$ and $y$ are nonzero real numbers such that

$\frac{3x + y}{x - 3y} = -2.$

What is the value of $\frac{x + 3y}{3x - y}?$

$-3$

$-1$

$1$

$2$

$3$

Conceptos:manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Elimina el denominador: $3x + y = -2(x - 3y)$

Clear the denominator: $3x + y = -2(x - 3y)$

Pista grande:

Esto se simplifica a $x = y;$ sustituye en la expresión objetivo

This simplifies to $x = y;$ substitute into the target expression

Solución:

La ecuación da $3x + y = -2(x - 3y)$ $= -2x + 6y,$ de modo que $5x = 5y,$ es decir $x = y.$ Entonces $\frac{x + 3y}{3x - y} = \frac{y + 3y}{3y - y} = \frac{4y}{2y} = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation gives $3x + y = -2(x - 3y)$ $= -2x + 6y,$ so $5x = 5y,$ meaning $x = y.$ Then $\frac{x + 3y}{3x - y} = \frac{y + 3y}{3y - y} = \frac{4y}{2y} = 2.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Samia salió en su bicicleta a visitar a su amiga, viajando a una velocidad media de $17$ kilómetros por hora. Cuando había recorrido la mitad de la distancia hasta la casa de su amiga, se le pinchó una llanta, y caminó el resto del camino a $5$ kilómetros por hora. En total tardó $44$ minutos en llegar a la casa de su amiga. En kilómetros redondeado a la décima más cercana, ¿qué distancia caminó Samia?

Samia set off on her bicycle to visit her friend, traveling at an average speed of $17$ kilometers per hour. When she had gone half the distance to her friend’s house, a tire went flat, and she walked the rest of the way at $5$ kilometers per hour. In all it took her $44$ minutes to reach her friend’s house. In kilometers rounded to the nearest tenth, how far did Samia walk?

$2.0$

$2.2$

$2.8$

$3.4$

$4.4$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Sea $d$ la distancia de ida que recorrió en bicicleta (y también caminando); usa tiempo $= \dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$

Let $d$ be the one-way distance she biked (and also walked); use time $= \dfrac{\text{distance}}{\text{rate}}$

Pista grande:

Resuelve $\dfrac{d}{17} + \dfrac{d}{5} = \dfrac{44}{60}$ para $d$

Solve $\dfrac{d}{17} + \dfrac{d}{5} = \dfrac{44}{60}$ for $d$

Solución:

Sea $2d$ la distancia total, de modo que recorrió $d$ en bicicleta a $17$ km/h y caminó $d$ a $5$ km/h. El tiempo total en horas es $\frac{d}{17} + \frac{d}{5} = \frac{44}{60}.$ Combinando el lado izquierdo se obtiene $\dfrac{22d}{85} = \dfrac{11}{15},$ de modo que $d = \dfrac{11}{15} \cdot \dfrac{85}{22} = \dfrac{17}{6} = 2.833\ldots$ Ella caminó aproximadamente $2.8$ kilómetros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $2d$ be the total distance, so she biked $d$ at $17$ km/h and walked $d$ at $5$ km/h. The total time in hours is $\frac{d}{17} + \frac{d}{5} = \frac{44}{60}.$ Combining the left side gives $\dfrac{22d}{85} = \dfrac{11}{15},$ so $d = \dfrac{11}{15} \cdot \dfrac{85}{22} = \dfrac{17}{6} = 2.833\ldots$ She walked about $2.8$ kilometers.

Thus, the correct answer is C.

5.

El conjunto de datos $[6, 19, 33, 33, 39,$ $41,$ $41,$ $43,$ $51,$ $57]$ tiene mediana $Q_2 = 40,$ primer cuartil $Q_1 = 33,$ y tercer cuartil $Q_3 = 43.$ Un valor atípico en un conjunto de datos es un valor que está más de $1.5$ veces el rango intercuartílico por debajo del primer cuartil $(Q_1)$ o más de $1.5$ veces el rango intercuartílico por encima del tercer cuartil $(Q_3),$ donde el rango intercuartílico se define como $Q_3 - Q_1.$ ¿Cuántos valores atípicos tiene este conjunto de datos?

The data set $[6, 19, 33, 33, 39,$ $41,$ $41,$ $43,$ $51,$ $57]$ has median $Q_2 = 40,$ first quartile $Q_1 = 33,$ and third quartile $Q_3 = 43.$ An outlier in a data set is a value that is more than $1.5$ times the interquartile range below the first quartile $(Q_1)$ or more than $1.5$ times the interquartile range above the third quartile $(Q_3),$ where the interquartile range is defined as $Q_3 - Q_1.$ How many outliers does this data set have?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

El rango intercuartílico es $Q_3 - Q_1 = 43 - 33 = 10$

The interquartile range is $Q_3 - Q_1 = 43 - 33 = 10$

Pista grande:

Cuenta los valores por debajo de $33 - 1.5(10)$ o por encima de $43 + 1.5(10)$

Count values below $33 - 1.5(10)$ or above $43 + 1.5(10)$

Solución:

El rango intercuartílico es $43 - 33 = 10,$ así que $1.5$ veces ese valor es $15.$ Los valores atípicos son los menores que $33 - 15 = 18$ o mayores que $43 + 15 = 58.$ Solo $6$ queda por debajo de $18,$ y nada supera $58,$ por lo que hay exactamente $1$ valor atípico.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The interquartile range is $43 - 33 = 10,$ so $1.5$ times it is $15.$ Outliers are values less than $33 - 15 = 18$ or greater than $43 + 15 = 58.$ Only $6$ falls below $18,$ and nothing exceeds $58,$ so there is exactly $1$ outlier.

Thus, the correct answer is B.

6.

La circunferencia que tiene $(0, 0)$ y $(8, 6)$ como extremos de un diámetro corta al eje $x$ en un segundo punto. ¿Cuál es la coordenada $x$ de este punto?

The circle having $(0, 0)$ and $(8, 6)$ as the endpoints of a diameter intersects the $x$ -axis at a second point. What is the $x$ -coordinate of this point?

$4\sqrt{2}$

$6$

$5\sqrt{2}$

$8$

$6\sqrt{2}$

Conceptos:geometría analítica círculo punto medio

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

El centro es el punto medio $(4, 3)$ y el radio es $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

The center is the midpoint $(4, 3)$ and the radius is $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

Pista grande:

Pon $y = 0$ en $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Set $y = 0$ in $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Solución:

El centro es el punto medio del diámetro, $(4, 3),$ y el radio es $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$ La circunferencia es $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25.$ Al poner $y = 0$ se obtiene $(x - 4)^2 = 16,$ de modo que $x = 0$ o $x = 8.$ La segunda intersección con el eje $x$ está en $x = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The center is the midpoint of the diameter, $(4, 3),$ and the radius is $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$ The circle is $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25.$ Setting $y = 0$ gives $(x - 4)^2 = 16,$ so $x = 0$ or $x = 8.$ The second intersection with the $x$ -axis is at $x = 8.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son periódicas con período mínimo $2\pi.$ ¿Cuál es el período mínimo de la función $\cos(\sin(x))$ ?

The functions $\sin(x)$ and $\cos(x)$ are periodic with least period $2\pi.$ What is the least period of the function $\cos(\sin(x))?$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

$4\pi$

No es periódica.

It’s not periodic.

Conceptos:identidad trigonométrica función

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa que $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ y que $\cos$ es par

Use that $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ and $\cos$ is even

Pista grande:

Para descartar un período menor, observa que $\cos(\sin(x)) = 1$ solo cuando $\sin(x) = 0,$ es decir, en los múltiplos de $\pi$

To rule out a smaller period, note $\cos(\sin(x)) = 1$ only when $\sin(x) = 0,$ i.e. at multiples of $\pi$

Solución:

Como $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x)),$ la función tiene período $\pi.$ No puede ser menor: $\cos(\sin(x)) = 1$ exactamente cuando $\sin(x) = 0,$ lo que ocurre solo en los múltiplos enteros de $\pi,$ de modo que los máximos están separados por $\pi$ . El período mínimo es $\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x)),$ the function has period $\pi.$ It cannot be smaller: $\cos(\sin(x)) = 1$ exactly when $\sin(x) = 0,$ which happens only at integer multiples of $\pi,$ so the maxima are spaced $\pi$ apart. The least period is $\pi.$

Thus, the correct answer is B.

8.

La razón del lado corto de cierto rectángulo al lado largo es igual a la razón del lado largo a la diagonal. ¿Cuál es el cuadrado de la razón del lado corto al lado largo de este rectángulo?

The ratio of the short side of a certain rectangle to the long side is equal to the ratio of the long side to the diagonal. What is the square of the ratio of the short side to the long side of this rectangle?

$\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{6} - 1}{2}$

Conceptos:cuadrática Teorema de Pitágoras razón y proporción

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Con lado corto $x$ y lado largo $y,$ la diagonal es $\sqrt{x^2 + y^2};$ escribe $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

With short side $x$ and long side $y,$ the diagonal is $\sqrt{x^2 + y^2};$ write $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Pista grande:

Sea $r = \dfrac{x^2}{y^2}.$ Al elevar al cuadrado la ecuación de razones se obtiene $\dfrac{1}{r} = r + 1$

Let $r = \dfrac{x^2}{y^2}.$ Squaring the ratio equation gives $\dfrac{1}{r} = r + 1$

Solución:

Sean $x$ y $y$ el lado corto y el lado largo, de modo que la diagonal es $\sqrt{x^2 + y^2}$ y $\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}.$ Escribiendo $r = \dfrac{x^2}{y^2},$ el lado derecho es $\dfrac{y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{1}{r + 1},$ de modo que $r = \dfrac{1}{r+1},$ lo que da $r^2 + r - 1 = 0.$ La raíz positiva es $r = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x$ and $y$ be the short and long sides, so the diagonal is $\sqrt{x^2 + y^2}$ and $\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}.$ Writing $r = \dfrac{x^2}{y^2},$ the right side is $\dfrac{y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{1}{r + 1},$ so $r = \dfrac{1}{r+1},$ giving $r^2 + r - 1 = 0.$ The positive root is $r = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Una circunferencia tiene centro $(-10, -4)$ y radio $13.$ Otra circunferencia tiene centro $(3, 9)$ y radio $\sqrt{65}.$ La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las dos circunferencias tiene ecuación $x + y = c.$ ¿Cuánto vale $c$ ?

A circle has center $(-10, -4)$ and radius $13.$ Another circle has center $(3, 9)$ and radius $\sqrt{65}.$ The line passing through the two points of intersection of the two circles has equation $x + y = c.$ What is $c?$

$3$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{2}$

$6$

$\dfrac{13}{2}$

Conceptos:eje radical círculo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Escribe ambas circunferencias como $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ y $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65$

Write both circles as $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ and $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65$

Pista grande:

Resta una ecuación desarrollada de la otra; los términos cuadráticos se cancelan

Subtract one expanded equation from the other; the quadratic terms cancel

Solución:

Las circunferencias son $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ y $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.$ Al desarrollar y restar la segunda de la primera se cancelan los términos $x^2$ y $y^2$ y se simplifica a $x + y = 3.$ Cualquier punto de intersección satisface esta ecuación, por lo que es la recta que pasa por ambos, y $c = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circles are $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ and $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.$ Expanding and subtracting the second from the first cancels the $x^2$ and $y^2$ terms and simplifies to $x + y = 3.$ Any intersection point satisfies this, so it is the line through both, and $c = 3.$

Thus, the correct answer is A.

10.

En la Escuela Secundaria Typico, al $60\%$ de los estudiantes les gusta bailar, y al resto no. De quienes les gusta bailar, el $80\%$ dice que les gusta, y el resto dice que no. De quienes no les gusta bailar, el $90\%$ dice que no les gusta, y el resto dice que sí. ¿Qué fracción de los estudiantes que dicen que no les gusta bailar en realidad sí les gusta?

At Typico High School, $60\%$ of the students like dancing, and the rest dislike it. Of those who like dancing, $80\%$ say that they like it, and the rest say that they dislike it. Of those who dislike dancing, $90\%$ say that they dislike it, and the rest say that they like it. What fraction of students who say they dislike dancing actually like it?

$10\%$

$12\%$

$20\%$

$25\%$

$33\tfrac{1}{3}\%$

Conceptos:probabilidad condicional Teorema de Bayes

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los estudiantes que gustan de bailar pero dicen que no representan $60\% \cdot 20\%$ del total de estudiantes

Students who like dancing but say they dislike it are $60\% \cdot 20\%$ of all students

Pista grande:

Divide ese grupo entre el total de quienes dicen que no les gusta bailar

Divide that group by the total who say they dislike dancing

Solución:

Los estudiantes que gustan de bailar pero dicen que no representan $60\% \cdot 20\% = 12\%$ del total de estudiantes. Los estudiantes que no gustan de bailar y así lo dicen representan $40\% \cdot 90\% = 36\%.$ Entre todos los que dicen que no les gusta bailar, la fracción que en realidad sí gusta es $\frac{12}{12 + 36} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} = 25\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Students who like dancing but say they dislike it make up $60\% \cdot 20\% = 12\%$ of all students. Students who dislike dancing and say so make up $40\% \cdot 90\% = 36\%.$ Among everyone who says they dislike dancing, the fraction who actually like it is $\frac{12}{12 + 36} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4} = 25\%.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Llamamos monótono a un entero positivo si es un número de una cifra o si sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, forman una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por ejemplo, $3,$ $23578,$ y $987620$ son monótonos, pero $88,$ $7434,$ y $23557$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos monótonos hay?

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example, $3,$ $23578,$ and $987620$ are monotonous, but $88,$ $7434,$ and $23557$ are not. How many monotonous positive integers are there?

$1024$

$1524$

$1533$

$1536$

$2048$

Conceptos:subconjuntos biyección inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Cada subconjunto no vacío de $\{1, 2, \ldots, 9\}$ da exactamente un número estrictamente creciente

Each nonempty subset of $\{1, 2, \ldots, 9\}$ gives exactly one strictly increasing number

Pista grande:

Los números decrecientes corresponden a subconjuntos de $\{0, 1, \ldots, 9\}$ salvo $\varnothing$ y $\{0\};$ los dígitos individuales se cuentan dos veces

Decreasing numbers correspond to subsets of $\{0, 1, \ldots, 9\}$ except $\varnothing$ and $\{0\};$ single digits are counted twice

Solución:

Los números monótonos estrictamente crecientes corresponden a subconjuntos no vacíos de $\{1, \ldots, 9\},$ lo que da $2^9 - 1 = 511.$ Los estrictamente decrecientes corresponden a subconjuntos de $\{0, 1, \ldots, 9\}$ distintos de $\varnothing$ y $\{0\}$ (no se permite un $0$ inicial), lo que da $2^{10} - 2 = 1022.$ Los nueve números de una cifra se cuentan en ambos casos, así que el total es $511 + 1022 - 9 = 1524.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Strictly increasing monotonous numbers correspond to nonempty subsets of $\{1, \ldots, 9\},$ giving $2^9 - 1 = 511.$ Strictly decreasing ones correspond to subsets of $\{0, 1, \ldots, 9\}$ other than $\varnothing$ and $\{0\}$ (a leading $0$ is not allowed), giving $2^{10} - 2 = 1022.$ The nine single-digit numbers are counted in both, so the total is $511 + 1022 - 9 = 1524.$

Thus, the correct answer is B.

12.

¿Cuál es la suma de las raíces de $z^{12} = 64$ que tienen parte real positiva?

What is the sum of the roots of $z^{12} = 64$ that have a positive real part?

$2$

$4$

$2 + 2\sqrt{3}$

$2\sqrt{2} + \sqrt{6}$

$(1 + \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})i$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo simetría

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las doce raíces están sobre una circunferencia de radio $\sqrt{2},$ separadas $30^\circ$ entre sí

The twelve roots lie on a circle of radius $\sqrt{2},$ spaced $30^\circ$ apart

Pista grande:

Las raíces con parte real positiva están en los ángulos $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ;$ las partes imaginarias se cancelan de a pares

The roots with positive real part are at angles $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ;$ imaginary parts cancel in pairs

Solución:

Las raíces de $z^{12} = 64$ están sobre la circunferencia de radio $64^{\frac{1}{12}} = \sqrt{2},$ en ángulos que son múltiplos de $30^\circ.$ Las que tienen parte real positiva están en los ángulos $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ.$ Sus partes imaginarias se cancelan, por lo que la suma es $\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The roots of $z^{12} = 64$ lie on the circle of radius $64^{\frac{1}{12}} = \sqrt{2},$ at angles that are multiples of $30^\circ.$ Those with positive real part are at angles $0, \pm 30^\circ, \pm 60^\circ.$ Their imaginary parts cancel, so the sum is $\begin{aligned} &\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cos 30^\circ \\ &\quad {}+ 2\sqrt{2}\cos 60^\circ \\ &\quad {}= \sqrt{2}\bigl(1 + \sqrt{3} + 1\bigr) \\ &\quad {}= 2\sqrt{2} + \sqrt{6}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

13.

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo, y $1$ de verde. Dos coloraciones que puedan obtenerse una de la otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones distintas son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta primero las coloraciones etiquetadas, luego aplica el lema de Burnside a las $6$ simetrías del triángulo

Count the labeled colorings first, then apply Burnside’s Lemma to the $6$ symmetries of the triangle

Pista grande:

Ninguna rotación distinta de la identidad fija coloración alguna; en una reflexión, los recuentos impares de discos verdes y azules deben usar los dos discos fijos

A nonidentity rotation fixes none; under a reflection, the odd green and blue counts must use the two fixed disks

Solución:

Antes de tener en cuenta la simetría, hay $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ coloraciones. Las dos rotaciones distintas de la identidad reparten los discos en dos ciclos de $3$ , así que ninguna de ellas puede fijar una coloración con recuentos de colores $3,2,1.$

Cada una de las $3$ reflexiones fija $2$ discos e intercambia los otros $4$ en $2$ parejas. Para que una coloración quede fija, el único disco verde y uno de los $3$ discos azules deben ocupar las dos posiciones fijas, en $2$ órdenes. De las dos parejas intercambiadas, cualquiera de ellas puede ser la pareja roja, lo que da $2\cdot2=4$ coloraciones fijas por reflexión. El lema de Burnside da entonces $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ coloraciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before accounting for symmetry, there are $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two $3$ -cycles, so neither can fix a painting having color counts $3,2,1.$

Each of the $3$ reflections fixes $2$ disks and swaps the other $4$ in $2$ pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the $3$ blue disks must occupy the two fixed positions, in $2$ orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving $2\cdot2=4$ fixed paintings per reflection. Burnside’s Lemma therefore gives $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.

14.

Un artículo novedoso de helado consiste en un vaso con forma de tronco de cono circular recto de $4$ pulgadas de altura, con una base de $2$ pulgadas de diámetro abajo y una base de $4$ pulgadas de diámetro arriba, relleno macizo de helado, junto con un cono macizo de helado de $4$ pulgadas de altura, cuya base, abajo, es la base superior del tronco. ¿Cuál es el volumen total del helado, en pulgadas cúbicas?

An ice-cream novelty item consists of a cup in the shape of a $4$ -inch-tall frustum of a right circular cone, with a $2$ -inch-diameter base at the bottom and a $4$ -inch-diameter base at the top, packed solid with ice cream, together with a solid cone of ice cream of height $4$ inches, whose base, at the bottom, is the top base of the frustum. What is the total volume of the ice cream, in cubic inches?

$8\pi$

$\dfrac{28\pi}{3}$

$12\pi$

$14\pi$

$\dfrac{44\pi}{3}$

Conceptos:cono volumen semejanza

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

El tronco es un cono completo (radio $2,$ altura $8$ ) menos un cono pequeño (radio $1,$ altura $4$ )

The frustum is a full cone (radius $2,$ height $8$ ) minus a small cone (radius $1,$ height $4$ )

Pista grande:

Suma el cono macizo superior de radio $2$ y altura $4;$ usa $V = \tfrac13 \pi r^2 h$

Add the top solid cone of radius $2$ and height $4;$ use $V = \tfrac13 \pi r^2 h$

Solución:

Al prolongar los lados del tronco hasta un punto, los triángulos semejantes muestran que el tronco equivale a un cono de radio $2$ y altura $8$ menos un cono de radio $1$ y altura $4:$ $\begin{aligned} &\tfrac13 \pi (2^2)(8) \\ &\quad {}- \tfrac13 \pi (1^2)(4) \\ &\quad {}= \tfrac{32}{3}\pi - \tfrac{4}{3}\pi \\ &\quad {}= \tfrac{28}{3}\pi. \end{aligned}$ El cono superior de radio $2$ y altura $4$ añade $\tfrac13 \pi (2^2)(4) = \tfrac{16}{3}\pi.$ El total es $\tfrac{28}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{44}{3}\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extending the frustum’s sides to a point, similar triangles show the frustum equals a cone of radius $2$ and height $8$ minus a cone of radius $1$ and height $4:$ $\begin{aligned} &\tfrac13 \pi (2^2)(8) \\ &\quad {}- \tfrac13 \pi (1^2)(4) \\ &\quad {}= \tfrac{32}{3}\pi - \tfrac{4}{3}\pi \\ &\quad {}= \tfrac{28}{3}\pi. \end{aligned}$ The top cone of radius $2$ and height $4$ adds $\tfrac13 \pi (2^2)(4) = \tfrac{16}{3}\pi.$ The total is $\tfrac{28}{3}\pi + \tfrac{16}{3}\pi = \tfrac{44}{3}\pi.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Prolonga el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de modo que $BB' = 3 \cdot AB.$ De manera similar, prolonga el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de modo que $CC' = 3 \cdot BC,$ y prolonga el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de modo que $AA' = 3 \cdot CA.$ ¿Cuál es la razón del área de $\triangle A'B'C'$ al área de $\triangle ABC$ ?

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB' = 3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC' = 3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA' = 3 \cdot CA.$ What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9 : 1$

$16 : 1$

$25 : 1$

$36 : 1$

$37 : 1$

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea $X$ el área de $\triangle ABC.$ Traza $CB',$ $AC',$ $BA'$ para dividir $\triangle A'B'C'$ en partes

Let $X$ be the area of $\triangle ABC.$ Draw $CB',$ $AC',$ $BA'$ to split $\triangle A'B'C'$ into pieces

Pista grande:

Un triángulo con $k$ veces la base y la misma altura tiene $k$ veces el área; expresa cada parte como múltiplo de $X$

A triangle with $k$ times the base and the same height has $k$ times the area; find each piece as a multiple of $X$

Solución:

Sea $X = [\triangle ABC],$ y traza los segmentos $CB',$ $AC',$ y $BA'.$ El triángulo $BB'C$ tiene base $BB' = 3 \cdot AB$ y la misma altura que $\triangle ABC$ desde $C$ a la recta $AB,$ por lo que su área es $3X;$ de igual modo $\triangle CC'A$ y $\triangle AA'B$ tienen cada uno área $3X.$ Luego, $\triangle AA'C'$ tiene $3$ veces la base y la misma altura que $\triangle ACC',$ así que su área es $9X;$ de manera similar $\triangle CC'B'$ y $\triangle BB'A'$ tienen cada uno área $9X.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$ así que la razón es $37 : 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $X = [\triangle ABC],$ and draw segments $CB',$ $AC',$ and $BA'.$ Triangle $BB'C$ has base $BB' = 3 \cdot AB$ and the same altitude as $\triangle ABC$ from $C$ to line $AB,$ so its area is $3X;$ likewise $\triangle CC'A$ and $\triangle AA'B$ each have area $3X.$ Next, $\triangle AA'C'$ has $3$ times the base and the same height as $\triangle ACC',$ so its area is $9X;$ similarly $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$ Thus $\begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned}$ so the ratio is $37 : 1.$

Thus, the correct answer is E.

16.

El número $21!$ $= 51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ tiene más de $60{,}000$ divisores enteros positivos. Se elige uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea impar?

The number $21!$ $= 51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ has over $60{,}000$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{19}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

Conceptos:Fórmula de Legendre conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Halla el exponente de $2$ en $21!$ usando $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor + \lfloor \frac{21}{4} \rfloor + \cdots$

Find the exponent of $2$ in $21!$ using $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor + \lfloor \frac{21}{4} \rfloor + \cdots$

Pista grande:

Un divisor es impar si y solo si usa $2^0.$ Con exponente $e,$ los divisores impares son una fracción $\dfrac{1}{e+1}$ del total

A divisor is odd iff it uses $2^0.$ With exponent $e,$ the odd divisors are a fraction $\dfrac{1}{e+1}$ of all divisors

Solución:

El exponente de $2$ en $21!$ es $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{4} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{8} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{16} \rfloor$ $= 10 + 5 + 2 + 1$ $= 18.$ Cada divisor tiene la forma $2^i b$ con $0 \le i \le 18$ y $b$ impar; es impar exactamente cuando $i = 0.$ Así que la fracción de divisores impares es $\dfrac{1}{18 + 1} = \dfrac{1}{19}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The exponent of $2$ in $21!$ is $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{4} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{8} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{16} \rfloor$ $= 10 + 5 + 2 + 1$ $= 18.$ Every divisor has the form $2^i b$ with $0 \le i \le 18$ and $b$ odd; it is odd exactly when $i = 0.$ So the fraction of odd divisors is $\dfrac{1}{18 + 1} = \dfrac{1}{19}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Una moneda está sesgada de tal manera que en cada lanzamiento la probabilidad de cara es $\dfrac{2}{3}$ y la probabilidad de cruz es $\dfrac{1}{3}.$ Los resultados de los lanzamientos son independientes. Un jugador puede elegir jugar el Juego A o el Juego B. En el Juego A lanza la moneda tres veces y gana si los tres resultados son iguales. En el Juego B lanza la moneda cuatro veces y gana si tanto los resultados del primer y segundo lanzamiento son iguales como los del tercer y cuarto lanzamiento son iguales. ¿Cómo se comparan las probabilidades de ganar el Juego A con las de ganar el Juego B?

A coin is biased in such a way that on each toss the probability of heads is $\dfrac{2}{3}$ and the probability of tails is $\dfrac{1}{3}.$ The outcomes of the tosses are independent. A player has the choice of playing Game A or Game B. In Game A she tosses the coin three times and wins if all three outcomes are the same. In Game B she tosses the coin four times and wins if both the outcomes of the first and second tosses are the same and the outcomes of the third and fourth tosses are the same. How do the chances of winning Game A compare to the chances of winning Game B?

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{4}{81}$ menor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{4}{81}$ less than the probability of winning Game B.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{2}{81}$ menor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{2}{81}$ less than the probability of winning Game B.

Las probabilidades son iguales.

The probabilities are the same.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{2}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{2}{81}$ greater than the probability of winning Game B.

La probabilidad de ganar el Juego A es $\dfrac{4}{81}$ mayor que la probabilidad de ganar el Juego B.

The probability of winning Game A is $\dfrac{4}{81}$ greater than the probability of winning Game B.

Conceptos:eventos independientes probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El Juego A gana con probabilidad $p^3 + (1-p)^3;$ el Juego B con $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2$

Game A wins with probability $p^3 + (1-p)^3;$ Game B with $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2$

Pista grande:

Sustituye $p = \dfrac{2}{3}$ y resta las dos probabilidades

Substitute $p = \dfrac{2}{3}$ and subtract the two probabilities

Solución:

Sea $p = \dfrac23.$ El Juego A se gana cuando los tres lanzamientos coinciden: $p^3 + (1-p)^3.$ El Juego B requiere que el primer par coincida y que el segundo par coincida, cada uno con probabilidad $p^2 + (1-p)^2,$ por lo que la probabilidad de ganar es $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2.$ Con $p = \tfrac23,$ el Juego A da $\left(\tfrac23\right)^3 + \left(\tfrac13\right)^3 = \tfrac{9}{27} = \tfrac13,$ y el Juego B da $\left(\tfrac49 + \tfrac19\right)^2 = \left(\tfrac59\right)^2 = \tfrac{25}{81}.$ La diferencia es $\tfrac{27}{81} - \tfrac{25}{81} = \tfrac{2}{81},$ por lo que el Juego A es $\tfrac{2}{81}$ más probable.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $p = \dfrac23.$ Game A is won when all three tosses match: $p^3 + (1-p)^3.$ Game B needs the first pair to match and the second pair to match, each with probability $p^2 + (1-p)^2,$ so the win probability is $\bigl(p^2 + (1-p)^2\bigr)^2.$ With $p = \tfrac23,$ Game A gives $\left(\tfrac23\right)^3 + \left(\tfrac13\right)^3 = \tfrac{9}{27} = \tfrac13,$ and Game B gives $\left(\tfrac49 + \tfrac19\right)^2 = \left(\tfrac59\right)^2 = \tfrac{25}{81}.$ The difference is $\tfrac{27}{81} - \tfrac{25}{81} = \tfrac{2}{81},$ so Game A is $\tfrac{2}{81}$ more likely.

Thus, the correct answer is D.

18.

El diámetro $\overline{AB}$ de una circunferencia de radio $2$ se prolonga hasta un punto $D$ fuera de la circunferencia de modo que $BD = 3.$ Se elige un punto $E$ tal que $ED = 5$ y la recta $ED$ es perpendicular a la recta $AD.$ El segmento $\overline{AE}$ corta a la circunferencia en un punto $C$ entre $A$ y $E.$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

The diameter $\overline{AB}$ of a circle of radius $2$ is extended to a point $D$ outside the circle so that $BD = 3.$ Point $E$ is chosen so that $ED = 5$ and line $ED$ is perpendicular to line $AD.$ Segment $\overline{AE}$ intersects the circle at a point $C$ between $A$ and $E.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{120}{37}$

$\dfrac{140}{39}$

$\dfrac{145}{39}$

$\dfrac{140}{37}$

$\dfrac{120}{31}$

Conceptos:ángulo inscrito semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

$\angle ACB$ está inscrito en un semicírculo, por lo que es un ángulo recto; de ahí que $\triangle ABC \sim \triangle AED$

$\angle ACB$ is inscribed in a semicircle, so it is a right angle; hence $\triangle ABC \sim \triangle AED$

Pista grande:

Sus áreas están en razón $AB^2 : AE^2;$ calcula $AE^2 = AD^2 + ED^2$

Their areas are in ratio $AB^2 : AE^2;$ compute $AE^2 = AD^2 + ED^2$

Solución:

Como $\angle ACB$ está inscrito en un semicírculo, es un ángulo recto, por lo que $\triangle ABC \sim \triangle AED$ (ambos rectángulos y comparten el ángulo $A$ ). Sus áreas están en razón $AB^2 : AE^2.$ Aquí $AB = 4,$ por lo que $AB^2 = 16,$ y $AD = AB + BD = 7,$ así que $AE^2 = AD^2 + ED^2$ $= 49 + 25$ $= 74.$ El área de $\triangle AED$ es $\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.$ Por lo tanto $[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\angle ACB$ is inscribed in a semicircle, it is a right angle, so $\triangle ABC \sim \triangle AED$ (both right-angled and sharing angle $A$ ). Their areas are in ratio $AB^2 : AE^2.$ Here $AB = 4,$ so $AB^2 = 16,$ and $AD = AB + BD = 7,$ so $AE^2 = AD^2 + ED^2$ $= 49 + 25$ $= 74.$ The area of $\triangle AED$ is $\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.$ Thus $[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Sea $N = 123456789101112\ldots4344$ el número de $79$ cifras que se forma escribiendo los enteros de $1$ a $44$ en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $45$ ?

Let $N = 123456789101112\ldots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

Conceptos:aritmética modular divisibilidad dígitos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como $45 = 9 \cdot 5,$ halla $N \bmod 5$ (la última cifra) y $N \bmod 9$ (la suma de las cifras)

Since $45 = 9 \cdot 5,$ find $N \bmod 5$ (the last digit) and $N \bmod 9$ (the digit sum)

Pista grande:

La suma de las cifras es un múltiplo de $9,$ así que $N \equiv 0 \pmod 9;$ combínalo con el residuo módulo $5$

The digit sum is a multiple of $9,$ so $N \equiv 0 \pmod 9;$ combine with the residue mod $5$

Solución:

La última cifra de $N$ es $4,$ por lo que $N \equiv 4 \pmod 5.$ Para el módulo $9,$ suma las cifras: los números del $1$ al $9$ aportan sus cifras, y las cifras de las decenas de $10$ a $44$ junto con las cifras de las unidades suman en total $270,$ que es un múltiplo de $9,$ por lo que $N \equiv 0 \pmod 9.$ El número $N - 9$ es entonces un múltiplo de $9,$ y su última cifra es $5,$ así que es un múltiplo de $5;$ por lo tanto $N - 9$ es un múltiplo de $45.$ En consecuencia $N \equiv 9 \pmod{45}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last digit of $N$ is $4,$ so $N \equiv 4 \pmod 5.$ For mod $9,$ sum the digits: the numbers $1$ – $9$ contribute their digits, the tens digits of $10$ – $44$ and the units digits together sum to $270,$ which is a multiple of $9,$ so $N \equiv 0 \pmod 9.$ The number $N - 9$ is then a multiple of $9,$ and its last digit is $5,$ so it is a multiple of $5;$ hence $N - 9$ is a multiple of $45.$ Therefore $N \equiv 9 \pmod{45}.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Se eligen números reales $x$ y $y$ de manera independiente y uniforme al azar en el intervalo $(0, 1).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,$ donde $\lfloor r \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $r$ ?

Real numbers $x$ and $y$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica funciones piso y techo sucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

$\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactamente cuando $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}$

$\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactly when $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}$

Pista grande:

Para cada $n,$ tanto $x$ como $y$ deben caer en ese intervalo de longitud $\dfrac{1}{2^n};$ suma las áreas resultantes

For each $n,$ both $x$ and $y$ must land in that interval of length $\dfrac{1}{2^n};$ sum the resulting areas

Solución:

Para cada entero positivo $n,$ $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactamente cuando $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},$ un intervalo de longitud $\dfrac{1}{2^n}.$ El evento de que ambas partes enteras sean iguales a $-n$ es un cuadrado de área $\dfrac{1}{4^n}.$ Sumando sobre todos los $n,$ la probabilidad es $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For each positive integer $n,$ $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactly when $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},$ an interval of length $\dfrac{1}{2^n}.$ The event that both floors equal $-n$ is a square of area $\dfrac{1}{4^n}.$ Summing over all $n,$ the probability is $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

El año pasado Isabella hizo $7$ exámenes de matemáticas y obtuvo $7$ puntajes diferentes, cada uno un entero entre $91$ y $100,$ inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus puntajes era un entero. Su puntaje en el séptimo examen fue $95.$ ¿Cuál fue su puntaje en el sexto examen?

Last year Isabella took $7$ math tests and received $7$ different scores, each an integer between $91$ and $100,$ inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was $95.$ What was her score on the sixth test?

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Conceptos:divisibilidad media acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La suma $S$ de los $7$ puntajes es un múltiplo de $7$ y está entre $658$ y $679$

The sum $S$ of all $7$ scores is a multiple of $7$ and lies between $658$ and $679$

Pista grande:

Además $S - 95$ es un múltiplo de $6;$ entonces los primeros $5$ puntajes suman un múltiplo de $5,$ lo que fija el residuo del sexto puntaje

Also $S - 95$ is a multiple of $6;$ then the first $5$ scores sum to a multiple of $5,$ forcing the sixth score’s residue

Solución:

Sea $S$ la suma de los siete puntajes. Entonces $S$ es un múltiplo de $7$ con $658 \le S \le 679,$ así que $S \in \{658, 665, 672, 679\}.$ Como el promedio después de seis exámenes es un entero, $S - 95$ es un múltiplo de $6,$ lo que obliga a $S = 665.$ Entonces los primeros seis puntajes suman $570,$ un múltiplo de $5;$ el promedio después de cinco exámenes es un entero, así que los primeros cinco puntajes también suman un múltiplo de $5,$ lo que hace que el sexto puntaje sea un múltiplo de $5.$ Como todos los puntajes son distintos y el séptimo es $95,$ el sexto debe ser $100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $S$ be the sum of all seven scores. Then $S$ is a multiple of $7$ with $658 \le S \le 679,$ so $S \in \{658, 665, 672, 679\}.$ Since the average after six tests is an integer, $S - 95$ is a multiple of $6,$ which forces $S = 665.$ Then the first six scores sum to $570,$ a multiple of $5;$ the average after five tests is an integer, so the first five scores also sum to a multiple of $5,$ making the sixth score a multiple of $5.$ Since all scores differ and the seventh is $95,$ the sixth must be $100.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Abby, Bernardo, Carl y Debra juegan un juego en el que cada uno empieza con cuatro monedas. El juego consta de cuatro rondas. En cada ronda, se colocan cuatro bolas en una urna: una verde, una roja y dos blancas. Cada jugador saca una bola al azar sin reemplazo. Quien saque la bola verde le da una moneda a quien saque la bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de que, al final de la cuarta ronda, cada jugador tenga cuatro monedas?

Abby, Bernardo, Carl, and Debra play a game in which each of them starts with four coins. The game consists of four rounds. In each round, four balls are placed in an urn—one green, one red, and two white. The players each draw a ball at random without replacement. Whoever gets the green ball gives one coin to whoever gets the red ball. What is the probability that, at the end of the fourth round, each of the players has four coins?

$\dfrac{7}{576}$

$\dfrac{5}{192}$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{5}{144}$

$\dfrac{7}{48}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Cada ronda tiene $4 \cdot 3 = 12$ resultados (dador, receptor) igualmente probables, para $12^4$ en total

Each round has $4 \cdot 3 = 12$ equally likely (giver, receiver) outcomes, for $12^4$ total

Pista grande:

Cuenta las secuencias de resultados que devuelven a todos a $4$ monedas: las transferencias netas de cada jugador deben cancelarse; divide en casos según el patrón de intercambios

Count outcome sequences that return everyone to $4$ coins: each player’s net transfers must cancel; split into cases by the pattern of exchanges

Solución:

Cada ronda tiene $4 \cdot 3 = 12$ pares (dador, receptor) igualmente probables, así que hay $12^4$ secuencias de resultados. Todos terminan con cuatro monedas exactamente cuando las cuatro transferencias se cancelan. Los patrones favorables son: un $4$ -ciclo de regalos ( $24 \cdot 6 = 144$ maneras), dos intercambios mutuos disjuntos ( $24 \cdot 3 = 72$ ), un par que intercambia dos veces ( $6 \cdot 6 = 36$ ), y un jugador que a la vez da y recibe de cada uno de otros dos ( $4 \cdot 3 \cdot 24 = 288$ ). Estos suman $144 + 72 + 36 + 288 = 540.$ La probabilidad es $\dfrac{540}{12^4} = \dfrac{540}{20736} = \dfrac{5}{192}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each round has $4 \cdot 3 = 12$ equally likely (giver, receiver) pairs, so there are $12^4$ outcome sequences. Everyone ends with four coins exactly when the four transfers cancel. The favorable patterns are: a $4$ -cycle of gifts ( $24 \cdot 6 = 144$ ways), two disjoint mutual exchanges ( $24 \cdot 3 = 72$ ), one pair exchanging twice ( $6 \cdot 6 = 36$ ), and one player both giving to and receiving from each of two others ( $4 \cdot 3 \cdot 24 = 288$ ). These total $144 + 72 + 36 + 288 = 540.$ The probability is $\dfrac{540}{12^4} = \dfrac{540}{20736} = \dfrac{5}{192}.$

Thus, the correct answer is B.

23.

La gráfica de $y = f(x),$ donde $f(x)$ es un polinomio de grado $3,$ contiene los puntos $A(2, 4),$ $B(3, 9),$ y $C(4, 16).$ Las rectas $AB,$ $AC,$ y $BC$ cortan de nuevo la gráfica en los puntos $D,$ $E,$ y $F,$ respectivamente, y la suma de las coordenadas $x$ de $D,$ $E,$ y $F$ es $24.$ ¿Cuánto vale $f(0)$ ?

The graph of $y = f(x),$ where $f(x)$ is a polynomial of degree $3,$ contains points $A(2, 4),$ $B(3, 9),$ and $C(4, 16).$ Lines $AB,$ $AC,$ and $BC$ intersect the graph again at points $D,$ $E,$ and $F,$ respectively, and the sum of the $x$ -coordinates of $D,$ $E,$ and $F$ is $24.$ What is $f(0)?$

$-2$

$0$

$2$

$\dfrac{24}{5}$

$8$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Como $A, B, C$ están sobre $y = x^2,$ sea $g(x) = f(x) - x^2,$ de modo que $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$

Since $A, B, C$ lie on $y = x^2,$ let $g(x) = f(x) - x^2,$ so $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$

Pista grande:

Una recta corta la cúbica donde $f(x) - L(x) = 0;$ por Vieta las tres coordenadas $x$ de cada tal terna suman $9 - \tfrac1a$

A line meets the cubic where $f(x) - L(x) = 0;$ by Vieta the three $x$ -coordinates of each such triple sum to $9 - \tfrac1a$

Solución:

Los puntos $A, B, C$ están sobre $y = x^2,$ así que $g(x) = f(x) - x^2$ tiene raíces $2, 3, 4:$ $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$ para algún $a \ne 0.$ Los coeficientes de $x^3$ y $x^2$ en $f$ son $a$ y $1 - 9a,$ así que por Vieta las tres raíces de $f(x) - L(x)$ (para cualquier $L$ lineal) suman $9 - \tfrac1a.$ Las rectas $AB, AC, BC$ cortan la cúbica en las ternas $\{2, 3, x_D\},$ $\{2, 4, x_E\},$ $\{3, 4, x_F\},$ así que $\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}$ lo que da $a = -\tfrac15.$ Entonces $f(x) = x^2$ $- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4),$ así que $f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)$ $= \tfrac{24}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The points $A, B, C$ lie on $y = x^2,$ so $g(x) = f(x) - x^2$ has roots $2, 3, 4:$ $g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)$ for some $a \ne 0.$ The coefficients of $x^3$ and $x^2$ in $f$ are $a$ and $1 - 9a,$ so by Vieta the three roots of $f(x) - L(x)$ (for any linear $L$ ) sum to $9 - \tfrac1a.$ The lines $AB, AC, BC$ meet the cubic in triples $\{2, 3, x_D\},$ $\{2, 4, x_E\},$ $\{3, 4, x_F\},$ so $\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}$ giving $a = -\tfrac15.$ Then $f(x) = x^2$ $- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4),$ so $f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)$ $= \tfrac{24}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

24.

El cuadrilátero $ABCD$ tiene ángulos rectos en $B$ y $C,$ $\triangle ABC \sim \triangle BCD,$ y $AB \gt BC.$ Hay un punto $E$ en el interior de $ABCD$ tal que $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ y el área de $\triangle AED$ es $17$ veces el área de $\triangle CEB.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{AB}{BC}$ ?

Quadrilateral $ABCD$ has right angles at $B$ and $C,$ $\triangle ABC \sim \triangle BCD,$ and $AB \gt BC.$ There is a point $E$ in the interior of $ABCD$ such that $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ and the area of $\triangle AED$ is $17$ times the area of $\triangle CEB.$ What is $\dfrac{AB}{BC}?$

$1 + \sqrt{2}$

$2 + \sqrt{2}$

$\sqrt{17}$

$2 + \sqrt{5}$

$1 + 2\sqrt{3}$

Conceptos:semejanza geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Pon $BC = 1,$ $AB = r,$ y sitúa $C = (0,0),$ $B = (0,1),$ $A = (r,1),$ $D = (\tfrac1r, 0)$

Set $BC = 1,$ $AB = r,$ and place $C = (0,0),$ $B = (0,1),$ $A = (r,1),$ $D = (\tfrac1r, 0)$

Pista grande:

Halla $E$ a partir de $\triangle ABC \sim \triangle CEB,$ calcula ambas áreas, y plantea $[\triangle AED] = 17[\triangle CEB]$

Find $E$ from $\triangle ABC \sim \triangle CEB,$ compute both areas, and set $[\triangle AED] = 17[\triangle CEB]$

Solución:

Pon $BC = 1$ y $AB = r \gt 1.$ La semejanza $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ con los ángulos rectos sitúa la figura en $C = (0,0),$ $B = (0,1),$ $A = (r,1),$ $D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr).$ Sea $E = (x, y)$ con $x, y \gt 0.$ De $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ obtenemos $\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB)$ $= \tan(\angle BAC)$ $= \dfrac1r$ y $x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2},$ de modo que $x = \dfrac{r}{1+r^2},$ $y = \dfrac{r^2}{1+r^2}.$ Las dos áreas relevantes son $\begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned}$ Igualar la segunda a $17$ veces la primera da $r^4 - 18r^2 + 1 = 0.$ Entonces $r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2,$ así que $r = 2 + \sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $BC = 1$ and $AB = r \gt 1.$ The similarity $\triangle ABC \sim \triangle BCD$ with the right angles places the figure at $C = (0,0),$ $B = (0,1),$ $A = (r,1),$ $D = \bigl(\tfrac1r, 0\bigr).$ Let $E = (x, y)$ with $x, y \gt 0.$ From $\triangle ABC \sim \triangle CEB$ we get $\dfrac{x}{y} = \tan(\angle ECB)$ $= \tan(\angle BAC)$ $= \dfrac1r$ and $x^2 + y^2 = \dfrac{r^2}{1 + r^2},$ so $x = \dfrac{r}{1+r^2},$ $y = \dfrac{r^2}{1+r^2}.$ The two relevant areas are $\begin{aligned} [\triangle CEB]&=\dfrac{r}{2(1+r^2)},\\ [\triangle AED]&=\dfrac{r^4-r^2+1}{2r(1+r^2)}. \end{aligned}$ Setting the second equal to $17$ times the first gives $r^4 - 18r^2 + 1 = 0.$ Then $r^2 = 9 + 4\sqrt5 = (2 + \sqrt5)^2,$ so $r = 2 + \sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Un conjunto de $n$ personas participa en un torneo de baloncesto por video en línea. Cada persona puede ser miembro de cualquier número de equipos de $5$ jugadores, pero no puede haber dos equipos con exactamente los mismos $5$ miembros. Las estadísticas del sitio muestran un hecho curioso: el promedio, sobre todos los subconjuntos de tamaño $9$ del conjunto de $n$ participantes, del número de equipos completos cuyos miembros están entre esas $9$ personas es igual al recíproco del promedio, sobre todos los subconjuntos de tamaño $8$ del conjunto de $n$ participantes, del número de equipos completos cuyos miembros están entre esas $8$ personas. ¿Cuántos valores de $n,$ $9 \le n \le 2017,$ pueden ser el número de participantes?

A set of $n$ people participate in an online video basketball tournament. Each person may be a member of any number of $5$ -player teams, but no two teams may have exactly the same $5$ members. The site statistics show a curious fact: The average, over all subsets of size $9$ of the set of $n$ participants, of the number of complete teams whose members are among those $9$ people is equal to the reciprocal of the average, over all subsets of size $8$ of the set of $n$ participants, of the number of complete teams whose members are among those $8$ people. How many values $n,$ $9 \le n \le 2017,$ can be the number of participants?

$477$

$482$

$487$

$557$

$562$

Conceptos:doble conteo divisibilidad Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Sea $T$ el número de equipos. Cada equipo se cuenta $\binom{n-5}{4}$ veces en la suma de tamaño $9$ y $\binom{n-5}{3}$ veces en la suma de tamaño $8$

Let $T$ be the number of teams. Each team is counted $\binom{n-5}{4}$ times in the size- $9$ sum and $\binom{n-5}{3}$ times in the size- $8$ sum

Pista grande:

La condición se convierte en $T =$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7};$ cuenta los $n$ que la hacen entera

The condition becomes $T =$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7};$ count $n$ making this an integer

Solución:

Sea $T$ el número de equipos. Al sumar sobre los subconjuntos de tamaño $9$ , cada equipo se cuenta $\binom{n-5}{4}$ veces; al sumar sobre los de tamaño $8$ , se cuenta $\binom{n-5}{3}$ veces. Los promedios son $\dfrac{\binom{n-5}{4}T}{\binom n9}$ y $\dfrac{\binom{n-5}{3}T}{\binom n8};$ al igualar el primero al recíproco del segundo y simplificar se obtiene $\begin{aligned} &T \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}. \end{aligned}$ Necesitamos que sea un entero positivo con $n \ge 9.$ Sea $N =$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4);$ como producto de cinco enteros consecutivos, $N$ siempre es divisible por $5.$ La condición de que $N$ sea divisible por $7$ se cumple para $5$ residuos módulo $7;$ la divisibilidad por $9$ , para $7$ residuos módulo $9;$ y la divisibilidad por $32$ , para $8$ residuos módulo $16.$ El teorema chino del resto da entonces $5\cdot7\cdot8=280$ soluciones módulo $\operatorname{lcm}(7,9,16)=1008.$ Por tanto, hay $560$ valores en $1 \le n \le 2016;$ al quitar $n = 1, 2, 3, 4$ (menores que $9$ ) y agregar $n = 2017$ (pues $2017 \equiv 1 \pmod{1008}$ ), quedan $560 - 4 + 1 = 557$ valores válidos.

Así, la respuesta correcta es D.

Let $T$ be the number of teams. Summing over size- $9$ subsets counts each team $\binom{n-5}{4}$ times and over size- $8$ subsets $\binom{n-5}{3}$ times. The averages are $\dfrac{\binom{n-5}{4}T}{\binom n9}$ and $\dfrac{\binom{n-5}{3}T}{\binom n8};$ setting the first equal to the reciprocal of the second and simplifying gives $\begin{aligned} &T \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}. \end{aligned}$ We need this to be a positive integer with $n \ge 9.$ Let $N =$ $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4);$ as a product of five consecutive integers, $N$ is always divisible by $5.$ The condition that $N$ is divisible by $7$ holds for $5$ residues modulo $7;$ divisibility by $9$ holds for $7$ residues modulo $9;$ and divisibility by $32$ holds for $8$ residues modulo $16.$ The Chinese Remainder Theorem therefore gives $5\cdot7\cdot8=280$ solutions modulo $\operatorname{lcm}(7,9,16)=1008.$ So there are $560$ values in $1 \le n \le 2016;$ removing $n = 1, 2, 3, 4$ (which are below $9$ ) and adding $n = 2017$ (since $2017 \equiv 1 \pmod{1008}$ ) gives $560 - 4 + 1 = 557$ valid values.

Thus, the correct answer is D.