Soluciones del 2003 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

$\frac{2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 + 14}{3 - 6 + 9 - 12 + 15 - 18 + 21}?$

Which of the following is the same as

$\frac{2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 + 14}{3 - 6 + 9 - 12 + 15 - 18 + 21}?$

$-1$

$-\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{14}{3}$

Conceptos:factorización fracción

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Extrae una constante común del numerador y del denominador

Factor a common constant out of the numerator and the denominator

Pista grande:

Las dos sumas entre paréntesis $1 - 2 + 3 - \cdots + 7$ son idénticas

The two parenthesized sums $1 - 2 + 3 - \cdots + 7$ are identical

Solución:

Saca $2$ como factor del numerador y $3$ del denominador: $\frac{2(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7)}{3(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7)}.$

Las sumas iguales entre paréntesis se cancelan, y queda $\dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factor $2$ from the numerator and $3$ from the denominator: $\frac{2(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7)}{3(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7)}.$

The equal parenthesized sums cancel, leaving $\dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Al contrae la enfermedad algebritis y debe tomar una pastilla verde y una pastilla rosa cada día durante dos semanas. Una pastilla verde cuesta $\$1$ más que una pastilla rosa, y las pastillas de Al cuestan en total $\$546$ durante las dos semanas. ¿Cuánto cuesta una pastilla verde?

Al gets the disease algebritis and must take one green pill and one pink pill each day for two weeks. A green pill costs $\$1$ more than a pink pill, and Al’s pills cost a total of $\$546$ for the two weeks. How much does one green pill cost?

$\$7$

$\$14$

$\$19$

$\$20$

$\$39$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Dos semanas son $14$ días, así que primero halla el costo del par de pastillas de un día

Two weeks is $14$ days, so find the cost of one day’s pair of pills first

Pista grande:

Si una pastilla verde cuesta $g,$ entonces la pastilla rosa cuesta $g - 1,$ y $g + (g-1)$ es el costo de un día

If a green pill costs $g,$ then the pink pill costs $g - 1,$ and $g + (g-1)$ is one day’s cost

Solución:

A lo largo de $14$ días, el costo diario de las dos pastillas es $\frac{546}{14} = 39.$

Sea $g$ el costo de una pastilla verde. La pastilla rosa cuesta $g - 1,$ así que $g + (g - 1) = 39,$ lo que da $g = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Over $14$ days the daily cost of the two pills is $\frac{546}{14} = 39.$

Let $g$ be the cost of a green pill. The pink pill costs $g - 1,$ so $g + (g - 1) = 39,$ giving $g = 20.$

Thus, the correct answer is D.

3.

Rose llena cada una de las regiones rectangulares de su cantero rectangular de flores con un tipo distinto de flor. Las longitudes, en pies, de las regiones rectangulares de su cantero son las que se muestran en la figura. Ella planta una flor por pie cuadrado en cada región. Los asteres cuestan $\$1$ cada uno, las begonias $\$1.50$ cada una, las cannas $\$2$ cada una, las dalias $\$2.50$ cada una y los lirios de Pascua $\$3$ cada uno. ¿Cuál es el menor costo posible, en dólares, para su jardín?

Rose fills each of the rectangular regions of her rectangular flower bed with a different type of flower. The lengths, in feet, of the rectangular regions in her flower bed are as shown in the figure. She plants one flower per square foot in each region. Asters cost $\$1$ each, begonias $\$1.50$ each, cannas $\$2$ each, dahlias $\$2.50$ each, and Easter lilies $\$3$ each. What is the least possible cost, in dollars, for her garden?

$108$

$115$

$132$

$144$

$156$

Conceptos:optimización área

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Halla el área de cada una de las cinco regiones a partir de la figura

Find the area of each of the five regions from the figure

Pista grande:

Para minimizar el total, coloca la flor más cara en la región más pequeña, y así sucesivamente

To minimize the total, put the most expensive flower in the smallest region and so on

Solución:

Las cinco regiones tienen áreas $4,$ $6,$ $15,$ $20,$ y $21$ pies cuadrados.

Para minimizar el costo, planta las flores más caras en las regiones más pequeñas. El menor costo posible es $\begin{aligned} &3(4) + 2.5(6) + 2(15) \\ &\quad {}+ 1.5(20) + 1(21) = 108. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The five regions have areas $4,$ $6,$ $15,$ $20,$ and $21$ square feet.

To minimize the cost, plant the most expensive flowers in the smallest regions. The least possible cost is $\begin{aligned} &3(4) + 2.5(6) + 2(15) \\ &\quad {}+ 1.5(20) + 1(21) = 108. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

4.

Moe usa una cortadora para cortar su césped rectangular de $90$ pies por $150$ pies. La franja que corta tiene $28$ pulgadas de ancho, pero superpone cada corte en $4$ pulgadas para asegurarse de no dejar césped sin cortar. Camina a una velocidad de $5000$ pies por hora mientras empuja la cortadora. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al número de horas que le tomará a Moe cortar su césped?

Moe uses a mower to cut his rectangular $90$ -foot by $150$ -foot lawn. The swath he cuts is $28$ inches wide, but he overlaps each cut by $4$ inches to make sure that no grass is missed. He walks at the rate of $5000$ feet per hour while pushing the mower. Which of the following is closest to the number of hours it will take Moe to mow his lawn?

$0.75$

$0.8$

$1.35$

$1.5$

$3$

Conceptos:tasa área conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Cada pasada corta efectivamente una franja de solo $28 - 4 = 24$ pulgadas de ancho debido a la superposición

Each pass effectively cuts a strip only $28 - 4 = 24$ inches wide because of the overlap

Pista grande:

Una franja de $24$ pulgadas mide $2$ pies de ancho, así que cada pie caminado corta $2$ pies cuadrados

A $24$ -inch strip is $2$ feet wide, so each foot walked mows $2$ square feet

Solución:

Debido a la superposición, cada pasada añade una franja de $28 - 4 = 24$ pulgadas $= 2$ pies de ancho. Así que cada pie que camina Moe corta $2$ pies cuadrados, es decir, $2 \cdot 5000 = 10000$ pies cuadrados por hora.

El césped tiene un área de $90 \cdot 150 = 13500$ pies cuadrados, así que el tiempo es $\frac{13500}{10000} = 1.35$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because of the overlap, each pass adds a strip $28 - 4 = 24$ inches $= 2$ feet wide. So each foot Moe walks mows $2$ square feet, that is, $2 \cdot 5000 = 10000$ square feet per hour.

The lawn has area $90 \cdot 150 = 13500$ square feet, so the time is $\frac{13500}{10000} = 1.35$ hours.

Thus, the correct answer is C.

5.

Muchas pantallas de televisión son rectángulos que se miden por la longitud de sus diagonales. La razón entre la longitud horizontal y la altura en una pantalla de televisión estándar es $4 : 3.$ ¿A cuál de las siguientes opciones se acerca más, en pulgadas, la longitud horizontal de una pantalla de televisión de $27$ pulgadas?

Many television screens are rectangles that are measured by the length of their diagonals. The ratio of the horizontal length to the height in a standard television screen is $4 : 3.$ The horizontal length of a $27$ -inch television screen is closest, in inches, to which of the following?

$20$

$20.5$

$21$

$21.5$

$22$

Conceptos:Terna pitagórica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Con lados en razón $4 : 3,$ la altura, la longitud y la diagonal están en razón $3 : 4 : 5$

With sides in ratio $4 : 3,$ the height, length, and diagonal are in ratio $3 : 4 : 5$

Pista grande:

La diagonal es $27,$ así que la longitud horizontal es $\dfrac{4}{5}$ de $27$

The diagonal is $27,$ so the horizontal length is $\dfrac{4}{5}$ of $27$

Solución:

Un rectángulo con razón de lados $4 : 3$ tiene la altura, la longitud y la diagonal en razón $3 : 4 : 5.$ Con diagonal $27,$ la longitud horizontal es $\frac{4}{5}(27) = 21.6,$ que es lo más cercano a $21.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A rectangle with side ratio $4 : 3$ has height, length, and diagonal in ratio $3 : 4 : 5.$ With diagonal $27,$ the horizontal length is $\frac{4}{5}(27) = 21.6,$ which is closest to $21.5.$

Thus, the correct answer is D.

6.

El segundo y el cuarto término de una sucesión geométrica son $2$ y $6.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

Conceptos:sucesión geométrica radical

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Si el primer término es $a$ y la razón es $r,$ entonces $ar = 2$ y $ar^3 = 6$

If the first term is $a$ and the ratio is $r,$ then $ar = 2$ and $ar^3 = 6$

Pista grande:

Al dividir las dos ecuaciones se obtiene $r^2 = 3,$ así que $r = \pm\sqrt{3}$

Dividing the two equations gives $r^2 = 3,$ so $r = \pm\sqrt{3}$

Solución:

Sea $a$ el primer término y $r$ la razón común. Entonces $ar = 2$ y $ar^3 = 6,$ así que $r^2 = 3$ y $r = \pm\sqrt{3}.$

El primer término es $a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ La opción $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first term be $a$ and the common ratio $r.$ Then $ar = 2$ and $ar^3 = 6,$ so $r^2 = 3$ and $r = \pm\sqrt{3}.$

The first term is $a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ appears among the options.

Thus, the correct answer is B.

7.

La alcancía de Penniless Pete no tiene ni un centavo, pero tiene $100$ monedas, todas de cinco, diez y veinticinco centavos, cuyo valor total es $\$8.35.$ No necesariamente contiene monedas de los tres tipos. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor cantidad de monedas de diez centavos que podría haber en la alcancía?

Penniless Pete’s piggy bank has no pennies in it, but it has $100$ coins, all nickels, dimes, and quarters, whose total value is $\$8.35.$ It does not necessarily contain coins of all three types. What is the difference between the largest and smallest number of dimes that could be in the bank?

$0$

$13$

$37$

$64$

$83$

Conceptos:sistema de ecuaciones Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Con $n$ monedas de cinco, $d$ de diez y $q$ de veinticinco centavos: $n + d + q = 100$ y $5n + 10d + 25q = 835$

With $n$ nickels, $d$ dimes, $q$ quarters: $n + d + q = 100$ and $5n + 10d + 25q = 835$

Pista grande:

Elimina $n$ para obtener $d + 4q = 67,$ luego acota $q$ de modo que $n,d,q \ge 0$ sean enteros

Eliminate $n$ to get $d + 4q = 67,$ then bound $q$ so that $n,d,q \ge 0$ are integers

Solución:

Sean $n,$ $d,$ $q$ las cantidades de monedas de cinco, diez y veinticinco centavos. Entonces $n + d + q = 100$ y $n + 2d + 5q = 167$ (dividiendo la ecuación del valor entre $5$ ).

Al restar se obtiene $d + 4q = 67,$ así que $d = 67 - 4q.$

El mayor $d$ ocurre en $q = 0,$ dando $d = 67$ (con $n = 33$ ). El menor ocurre en $q = 16,$ dando $d = 3$ (con $n = 81$ ). La diferencia es $67 - 3 = 64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $n,$ $d,$ $q$ be the numbers of nickels, dimes, quarters. Then $n + d + q = 100$ and $n + 2d + 5q = 167$ (dividing the value equation by $5$ ).

Subtracting gives $d + 4q = 67,$ so $d = 67 - 4q.$

The largest $d$ is at $q = 0,$ giving $d = 67$ (with $n = 33$ ). The smallest occurs at $q = 16,$ giving $d = 3$ (with $n = 81$ ). The difference is $67 - 3 = 64.$

Thus, the correct answer is D.

8.

Sea $\clubsuit(x)$ la suma de los dígitos del entero positivo $x.$ Por ejemplo, $\clubsuit(8) = 8$ y $\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.$ ¿Para cuántos valores de dos dígitos de $x$ se cumple $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3$ ?

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8) = 8$ and $\clubsuit(123) = 1 + 2 + 3 = 6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x)) = 3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

Conceptos:dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Sea $y = \clubsuit(x).$ Para un $x$ de dos dígitos, $y$ está entre $1$ y $18$

Let $y = \clubsuit(x).$ For a two-digit $x,$ $y$ is between $1$ and $18$

Pista grande:

$\clubsuit(y) = 3$ obliga a $y = 3$ o $y = 12;$ cuenta los $x$ de dos dígitos con cada suma de dígitos

$\clubsuit(y) = 3$ forces $y = 3$ or $y = 12;$ count two-digit $x$ with each digit sum

Solución:

Sea $y = \clubsuit(x).$ Como $x \le 99,$ tenemos $y \le 18.$ Entonces $\clubsuit(y) = 3$ requiere $y = 3$ o $y = 12.$

Los números de dos dígitos con suma de dígitos $3$ son $12, 21, 30$ ( $3$ valores), y los que tienen suma de dígitos $12$ son $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ ( $7$ valores), para un total de $10$ en conjunto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $y = \clubsuit(x).$ Since $x \le 99,$ we have $y \le 18.$ Then $\clubsuit(y) = 3$ requires $y = 3$ or $y = 12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12, 21, 30$ ( $3$ values), and those with digit sum $12$ are $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ ( $7$ values), for $10$ in all.

Thus, the correct answer is E.

9.

Sea $f$ una función lineal para la cual $f(6) - f(2) = 12.$ ¿Cuánto vale $f(12) - f(2)$ ?

Let $f$ be a linear function for which $f(6) - f(2) = 12.$ What is $f(12) - f(2)?$

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Conceptos:pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Una función lineal tiene una tasa de cambio constante (la pendiente)

A linear function has a constant rate of change (slope)

Pista grande:

La pendiente es $\dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2},$ y la respuesta es esa pendiente multiplicada por $12 - 2$

The slope is $\dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2},$ and the answer is that slope times $12 - 2$

Solución:

La pendiente de $f$ es $\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3.$

Por lo tanto $f(12) - f(2) = 3(12 - 2) = 30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The slope of $f$ is $\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3.$

Therefore $f(12) - f(2) = 3(12 - 2) = 30.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Se pueden formar varias figuras uniendo dos triángulos equiláteros al pentágono regular $ABCDE$ en dos de las cinco posiciones que se muestran. ¿Cuántas figuras no congruentes se pueden construir de esta manera?

Several figures can be made by attaching two equilateral triangles to the regular pentagon $ABCDE$ in two of the five positions shown. How many non-congruent figures can be constructed in this way?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Por simetría, supón que un triángulo se une a un lado fijo, y luego coloca el segundo

By symmetry, assume one triangle is attached to a fixed side, then place the second

Pista grande:

Solo los lados adyacentes frente a los no adyacentes al lado fijo dan formas distintas, salvo reflexión

Only the two sides adjacent versus non-adjacent to the fixed side give different shapes, up to reflection

Solución:

Supón que un triángulo se une al lado $AB.$ El segundo triángulo puede unirse a un lado que esté a un paso o a dos pasos de $AB.$

Unirlo a $BC$ o $CD$ da dos figuras; unirlo a $AE$ o $DE$ da figuras que son imágenes especulares de estas respecto al eje de simetría del pentágono.

Así que solo hay $2$ figuras no congruentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Assume one triangle is attached to side $AB.$ The second triangle can be attached to a side that is one step away or two steps away from $AB.$

Attaching it to $BC$ or $CD$ gives two figures; attaching it to $AE$ or $DE$ gives figures that are mirror images of these across the pentagon’s axis of symmetry.

So there are only $2$ non-congruent figures.

Thus, the correct answer is B.

11.

Cassandra pone su reloj en la hora correcta al mediodía. A la hora real de la $1{:}00$ PM, nota que su reloj marca las $12{:}57$ y $36$ segundos. Suponiendo que su reloj atrasa a una tasa constante, ¿cuál será la hora real cuando su reloj marque por primera vez las $10{:}00$ PM?

Cassandra sets her watch to the correct time at noon. At the actual time of $1{:}00$ PM, she notices that her watch reads $12{:}57$ and $36$ seconds. Assuming that her watch loses time at a constant rate, what will be the actual time when her watch first reads $10{:}00$ PM?

$10{:}22$ PM y $24$ segundos

$10{:}22$ PM and $24$ seconds

$10{:}24$ PM

$10{:}25$ PM

$10{:}27$ PM

$10{:}30$ PM

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

En $60$ minutos reales el reloj registra solo $57.6$ minutos

In $60$ real minutes the watch records only $57.6$ minutes

Pista grande:

Si el reloj muestra $t$ minutos después del mediodía, la hora real es $\dfrac{60}{57.6}\,t = \dfrac{25}{24}\,t$

If the watch shows $t$ minutes past noon, the real time is $\dfrac{60}{57.6}\,t = \dfrac{25}{24}\,t$

Solución:

En $60$ minutos reales el reloj avanza solo $57$ minutos $36$ segundos $= 57.6$ minutos. Así que cuando el reloj muestra $t$ minutos después del mediodía, el tiempo real transcurrido es $\dfrac{60}{57.6}t = \dfrac{25}{24}t$ minutos.

El reloj marca las $10{:}00$ PM después de $600$ minutos registrados, así que el tiempo real transcurrido es $\frac{25}{24}(600) = 625$ minutos $= 10$ horas $25$ minutos después del mediodía. La hora real es las $10{:}25$ PM.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In $60$ real minutes the watch advances only $57$ minutes $36$ seconds $= 57.6$ minutes. So when the watch shows $t$ minutes past noon, the real elapsed time is $\dfrac{60}{57.6}t = \dfrac{25}{24}t$ minutes.

The watch reads $10{:}00$ PM after $600$ recorded minutes, so the real elapsed time is $\frac{25}{24}(600) = 625$ minutes $= 10$ hours $25$ minutes past noon. The actual time is $10{:}25$ PM.

Thus, the correct answer is C.

12.

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de $\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}$ para todo entero positivo par $n$ ?

What is the largest integer that is a divisor of $\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}$ for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Para $n$ par, los factores son cinco números impares consecutivos

For even $n,$ the factors are five consecutive odd numbers

Pista grande:

Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, uno es múltiplo de $3$ y uno es múltiplo de $5$

Among any five consecutive odd numbers, one is a multiple of $3$ and one is a multiple of $5$

Solución:

Para $n$ par, los cinco factores son números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible entre $3$ y exactamente uno entre $5,$ así que el producto siempre es divisible entre $15.$

Ningún divisor mayor funciona siempre: los productos para $n = 10$ y $n = 20$ son $11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19$ y $21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29,$ cuyo máximo común divisor es $15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For even $n,$ the five factors are consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

No larger divisor always works: the products for $n = 10$ and $n = 20$ are $11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19$ and $21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29,$ whose greatest common divisor is $15.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Un cono de helado consiste en una esfera de helado de vainilla y un cono circular recto que tiene el mismo diámetro que la esfera. Si el helado se derrite, llenará exactamente el cono. Supón que el helado derretido ocupa $75\%$ del volumen del helado congelado. ¿Cuál es la razón entre la altura del cono y su radio?

An ice cream cone consists of a sphere of vanilla ice cream and a right circular cone that has the same diameter as the sphere. If the ice cream melts, it will exactly fill the cone. Assume that the melted ice cream occupies $75\%$ of the volume of the frozen ice cream. What is the ratio of the cone’s height to its radius?

$2 : 1$

$3 : 1$

$4 : 1$

$16 : 3$

$6 : 1$

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

La esfera y el cono comparten el mismo radio $r;$ el volumen de la esfera es $\dfrac{4}{3}\pi r^3$

The sphere and cone share the same radius $r;$ sphere volume is $\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Pista grande:

Iguala el $75\%$ del volumen de la esfera al volumen del cono $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

Set $75\%$ of the sphere’s volume equal to the cone’s volume $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

Solución:

Sea $r$ el radio común y $h$ la altura del cono. El helado derretido llena el cono, así que $\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$

Esto se simplifica a $\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,$ así que $h = 3r,$ una razón de $3 : 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $r$ be the common radius and $h$ the cone’s height. The melted ice cream fills the cone, so $\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$

This simplifies to $\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,$ so $h = 3r,$ a ratio of $3 : 1.$

Thus, the correct answer is B.

14.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB = 5$ y $BC = 3.$ Los puntos $F$ y $G$ están en $\overline{CD}$ de modo que $DF = 1$ y $GC = 2.$ Las rectas $AF$ y $BG$ se cortan en $E.$ Halla el área de $\triangle AEB.$

In rectangle $ABCD,$ $AB = 5$ and $BC = 3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF = 1$ and $GC = 2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

Conceptos:semejanza área del triángulo

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

$FG = 5 - 1 - 2 = 2,$ y $\triangle FEG$ es semejante a $\triangle AEB$

$FG = 5 - 1 - 2 = 2,$ and $\triangle FEG$ is similar to $\triangle AEB$

Pista grande:

Sea la distancia de $E$ a la recta $CD$ igual a $k;$ la distancia a $AB$ es $k + 3,$ con razón $\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}$

Let the distance from $E$ to line $CD$ be $k;$ the distance to $AB$ is $k + 3,$ with ratio $\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}$

Solución:

Como $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ y $\overline{FG} \parallel \overline{AB},$ los triángulos $FEG$ y $AEB$ son semejantes con razón $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.$

Sea $k$ la distancia de $E$ a la recta $CD.$ Entonces la distancia de $E$ a $AB$ es $k + 3,$ y $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},$ lo que da $k = 2.$

La altura de $\triangle AEB$ es $k + 3 = 5,$ así que su área es $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ and $\overline{FG} \parallel \overline{AB},$ triangles $FEG$ and $AEB$ are similar with ratio $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.$

Let the distance from $E$ to line $CD$ be $k.$ Then the distance from $E$ to $AB$ is $k + 3,$ and $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},$ giving $k = 2.$

The height of $\triangle AEB$ is $k + 3 = 5,$ so its area is $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene un área de una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo $ABEF$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro del octágono, que es el punto medio de la diagonal $AE$

Let $O$ be the center of the octagon, which is the midpoint of diagonal $AE$

Pista grande:

$\triangle AOB$ es uno de los ocho triángulos desde el centro, así que tiene área $\dfrac{1}{8}$

$\triangle AOB$ is one of the eight triangles from the center, so it has area $\dfrac{1}{8}$

Solución:

Sea $O$ el centro del octágono. Al unir $O$ con los vértices se divide el octágono en $8$ triángulos congruentes, así que $\triangle AOB$ tiene área $\dfrac{1}{8}.$

Como $O$ es el punto medio de $\overline{AE},$ los triángulos $AOB$ y $BOE$ tienen áreas iguales, así que $\triangle ABE$ tiene área $\dfrac{1}{4}.$

El rectángulo $ABEF$ queda dividido por la diagonal $\overline{BE}$ en dos triángulos congruentes, así que $\triangle ABE$ es la mitad de él. Por lo tanto $ABEF$ tiene área $\dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center of the octagon. Joining $O$ to the vertices splits the octagon into $8$ congruent triangles, so $\triangle AOB$ has area $\dfrac{1}{8}.$

Since $O$ is the midpoint of $\overline{AE},$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal areas, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac{1}{4}.$

The rectangle $ABEF$ is split by diagonal $\overline{BE}$ into two congruent triangles, so $\triangle ABE$ is half of it. Hence $ABEF$ has area $\dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Se construyen tres semicírculos de radio $1$ sobre el diámetro $\overline{AB}$ de un semicírculo de radio $2.$ Los centros de los semicírculos pequeños dividen $\overline{AB}$ en cuatro segmentos de igual longitud, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada que está dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos más pequeños?

Three semicircles of radius $1$ are constructed on diameter $\overline{AB}$ of a semicircle of radius $2.$ The centers of the small semicircles divide $\overline{AB}$ into four line segments of equal length, as shown. What is the area of the shaded region that lies within the large semicircle but outside the smaller semicircles?

$\pi - \sqrt{3}$

$\pi - \sqrt{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:sector circular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

El semicírculo grande tiene área $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi$

The large semicircle has area $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi$

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión: resta las dos intersecciones del área total de los tres semicírculos pequeños

Use inclusion-exclusion: subtract the two overlaps from the total area of the three small semicircles

Solución:

El semicírculo grande tiene área $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.$

Los tres semicírculos pequeños tienen área total $\dfrac{3\pi}{2}$ antes de contar sus intersecciones. Los centros de cada par adyacente están a $1$ unidad de distancia, así que su intersección está delimitada por dos sectores de $60^\circ$ y un triángulo equilátero. Cada una de las dos intersecciones tiene por tanto área $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

El área sombreada es $\begin{aligned} &2\pi - \left[\frac{3\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

The large semicircle has area $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.$

The three small semicircles have total area $\dfrac{3\pi}{2}$ before their overlaps are accounted for. The centers of each adjacent pair are $1$ unit apart, so their intersection is bounded by two $60^\circ$ sectors and an equilateral triangle. Each of the two overlaps therefore has area $\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

The shaded area is $\begin{aligned} &2\pi - \left[\frac{3\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

17.

Si $\log(xy^3) = 1$ y $\log(x^2y) = 1,$ ¿cuánto vale $\log(xy)$ ?

If $\log(xy^3) = 1$ and $\log(x^2y) = 1,$ what is $\log(xy)?$

$-\dfrac{1}{2}$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$1$

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Sea $X = \log x$ y $Y = \log y;$ las ecuaciones se vuelven lineales en $X$ y $Y$

Let $X = \log x$ and $Y = \log y;$ the equations become linear in $X$ and $Y$

Pista grande:

Resuelve $X + 3Y = 1$ y $2X + Y = 1,$ luego calcula $X + Y$

Solve $X + 3Y = 1$ and $2X + Y = 1,$ then compute $X + Y$

Solución:

Sea $X = \log x$ y $Y = \log y.$ Entonces $X + 3Y = 1$ y $2X + Y = 1.$

Al resolver se obtiene $X = \dfrac{2}{5}$ y $Y = \dfrac{1}{5},$ así que $\log(xy) = X + Y = \frac{3}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $X = \log x$ and $Y = \log y.$ Then $X + 3Y = 1$ and $2X + Y = 1.$

Solving gives $X = \dfrac{2}{5}$ and $Y = \dfrac{1}{5},$ so $\log(xy) = X + Y = \frac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Sean $x$ y $y$ enteros positivos tales que $7x^5 = 11y^{13}.$ El mínimo valor posible de $x$ tiene una factorización prima $a^c b^d.$ ¿Cuánto vale $a + b + c + d$ ?

Let $x$ and $y$ be positive integers such that $7x^5 = 11y^{13}.$ The minimum possible value of $x$ has a prime factorization $a^c b^d.$ What is $a + b + c + d?$

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Conceptos:factorización en primos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

El mínimo $x$ usa solo los primos $7$ y $11,$ así que escribe $x = 7^c 11^d$

The minimum $x$ uses only the primes $7$ and $11,$ so write $x = 7^c 11^d$

Pista grande:

Iguala los exponentes de $7$ y $11:$ se necesita $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ y $5d \equiv 1 \pmod{13}$

Match exponents of $7$ and $11:$ need $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ and $5d \equiv 1 \pmod{13}$

Solución:

Para el mínimo $x,$ ni $x$ ni $y$ tienen factores primos distintos de $7$ y $11.$ Escribe $x = 7^c 11^d,$ así que $7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}.$ Escribiendo $y = 7^m 11^n,$ necesitamos $7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}.$

Igualando exponentes: $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ da el menor $c = 5,$ y $5d \equiv 1 \pmod{13}$ da el menor $d = 8.$ Así que $a = 7,$ $b = 11,$ y $\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For the minimum $x,$ neither $x$ nor $y$ has prime factors other than $7$ and $11.$ Write $x = 7^c 11^d,$ so $7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}.$ Writing $y = 7^m 11^n,$ we need $7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}.$

Matching exponents: $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ gives the least $c = 5,$ and $5d \equiv 1 \pmod{13}$ gives the least $d = 8.$ So $a = 7,$ $b = 11,$ and $\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

19.

Sea $S$ el conjunto de las permutaciones de la sucesión $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ para las que el primer término no es $1.$ Se elige una permutación al azar de $S.$ La probabilidad de que el segundo término sea $2,$ en su forma más simple, es $\frac{a}{b}.$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

Let $S$ be the set of permutations of the sequence $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ for which the first term is not $1.$ A permutation is chosen randomly from $S.$ The probability that the second term is $2,$ in lowest terms, is $\frac{a}{b}.$ What is $a + b?$

$5$

$6$

$11$

$16$

$19$

Conceptos:permutaciones probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Cuenta $S$ directamente: $4$ opciones para el primer término, luego $4!$ para el resto

Count $S$ directly: $4$ choices for the first term, then $4!$ for the rest

Pista grande:

Cuenta las permutaciones de $S$ cuyo segundo término es $2:$ el primer término es $3, 4,$ o $5$

Count permutations in $S$ whose second term is $2:$ the first term is $3, 4,$ or $5$

Solución:

El conjunto $S$ contiene $4 \cdot 4! = 96$ permutaciones, ya que el primer término tiene $4$ opciones y los cuatro términos restantes se pueden ordenar de $4!$ maneras.

Para que el segundo término sea $2,$ el primer término debe ser $3, 4,$ o $5$ (no $1,$ no $2$ ), lo que da $3$ opciones, y los tres términos restantes se pueden ordenar de $3!$ maneras: $3 \cdot 3! = 18.$

La probabilidad es $\dfrac{18}{96} = \dfrac{3}{16},$ así que $a + b = 3 + 16 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The set $S$ contains $4 \cdot 4! = 96$ permutations, since the first term has $4$ choices and the remaining four terms can be arranged in $4!$ ways.

For the second term to be $2,$ the first term must be $3, 4,$ or $5$ (not $1,$ not $2$ ), giving $3$ choices, and the remaining three terms can be arranged in $3!$ ways: $3 \cdot 3! = 18.$

The probability is $\dfrac{18}{96} = \dfrac{3}{16},$ so $a + b = 3 + 16 = 19.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Se muestra parte de la gráfica de $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ . ¿Cuánto vale $b$ ?

Part of the graph of $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ is shown. What is $b?$

$-4$

$-2$

$0$

$2$

$4$

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Lee de la gráfica $f(-1) = 0,$ $f(1) = 0,$ y $f(0) = 2$

Read off $f(-1) = 0,$ $f(1) = 0,$ and $f(0) = 2$ from the graph

Pista grande:

Sumar $f(1) + f(-1)$ elimina $a$ y $c,$ dejando $2b + 2d = 0$

Adding $f(1) + f(-1)$ eliminates $a$ and $c,$ leaving $2b + 2d = 0$

Solución:

La gráfica pasa por $(-1, 0),$ $(1, 0),$ y $(0, 2).$ Así que $f(0) = d = 2.$

Al sumar $\begin{aligned} &f(1) + f(-1) \\ &= (a + b + c + d) \\ &\quad {}+ (-a + b - c + d) \\ &= 2b + 2d = 0, \end{aligned}$ así que $b = -d = -2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The graph passes through $(-1, 0),$ $(1, 0),$ and $(0, 2).$ So $f(0) = d = 2.$

Adding $\begin{aligned} &f(1) + f(-1) \\ &= (a + b + c + d) \\ &\quad {}+ (-a + b - c + d) \\ &= 2b + 2d = 0, \end{aligned}$ so $b = -d = -2.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Un objeto se mueve $8$ cm en línea recta de $A$ a $B,$ gira un ángulo $\alpha,$ medido en radianes y elegido al azar del intervalo $(0, \pi),$ y se mueve $5$ cm en línea recta hasta $C.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $AC \lt 7$ ?

An object moves $8$ cm in a straight line from $A$ to $B,$ turns at an angle $\alpha,$ measured in radians and chosen at random from the interval $(0, \pi),$ and moves $5$ cm in a straight line to $C.$ What is the probability that $AC \lt 7?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:ley de los cosenos probabilidad geométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sea $\beta = \pi - \alpha$ el ángulo interior en $B;$ aplica la ley de los cosenos al $\triangle ABC$

Let $\beta = \pi - \alpha$ be the interior angle at $B;$ apply the Law of Cosines to $\triangle ABC$

Pista grande:

$AC^2 = 89 - 80\cos\beta,$ así que $AC \lt 7$ equivale a $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}$

$AC^2 = 89 - 80\cos\beta,$ so $AC \lt 7$ is equivalent to $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}$

Solución:

Sea $\beta = \pi - \alpha$ el ángulo interior del $\triangle ABC$ en $B.$ Por la ley de los cosenos, $\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}$

Entonces $AC \lt 7$ significa $89 - 80\cos\beta \lt 49,$ es decir $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2},$ es decir $\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.$

Como $\alpha$ es uniforme en $(0, \pi),$ también lo es $\beta.$ La probabilidad es $\frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\beta = \pi - \alpha$ be the interior angle of $\triangle ABC$ at $B.$ By the Law of Cosines, $\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}$

Then $AC \lt 7$ means $89 - 80\cos\beta \lt 49,$ i.e. $\cos\beta \gt \dfrac{1}{2},$ i.e. $\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.$

As $\alpha$ is uniform on $(0, \pi),$ so is $\beta.$ The probability is $\frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Sea $ABCD$ un rombo con $AC = 16$ y $BD = 30.$ Sea $N$ un punto en $\overline{AB},$ y sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $N$ a $\overline{AC}$ y $\overline{BD},$ respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones se acerca más al mínimo valor posible de $PQ$ ?

Let $ABCD$ be a rhombus with $AC = 16$ and $BD = 30.$ Let $N$ be a point on $\overline{AB},$ and let $P$ and $Q$ be the feet of the perpendiculars from $N$ to $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of $PQ?$

$6.5$

$6.75$

$7$

$7.25$

$7.5$

Conceptos:rombo altura optimización

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro; las diagonales se cruzan en ángulo recto, así que $OPNQ$ es un rectángulo y $PQ = ON$

Let $O$ be the center; the diagonals meet at right angles, so $OPNQ$ is a rectangle and $PQ = ON$

Pista grande:

$ON$ es mínimo cuando $N$ es el pie de la altura desde $O$ en el triángulo rectángulo $AOB$ con catetos $8$ y $15$

$ON$ is smallest when $N$ is the foot of the altitude from $O$ in right triangle $AOB$ with legs $8$ and $15$

Solución:

Sea $O$ la intersección de las diagonales. Entonces el $\triangle AOB$ es rectángulo en $O$ con catetos $OA = 8$ y $OB = 15.$ El cuadrilátero $OPNQ$ tiene ángulos rectos en $O,$ $P,$ y $Q,$ así que es un rectángulo y $PQ = ON.$

El mínimo de $ON$ es la altura desde $O$ hasta $\overline{AB}$ en el $\triangle AOB.$ Como $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,$ al igualar las dos expresiones del área se obtiene $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}$

Esto es lo más cercano a $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the intersection of the diagonals. Then $\triangle AOB$ is right-angled at $O$ with legs $OA = 8$ and $OB = 15.$ Quadrilateral $OPNQ$ has right angles at $O,$ $P,$ and $Q,$ so it is a rectangle and $PQ = ON.$

The minimum of $ON$ is the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ in $\triangle AOB.$ Since $AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,$ equating the two area expressions gives $\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}$

This is closest to $7.$

Thus, the correct answer is C.

23.

El número de intersecciones con el eje $x$ en la gráfica de $y = \sin(\frac{1}{x})$ en el intervalo $(0.0001, 0.001)$ es más cercano a

The number of $x$ -intercepts on the graph of $y = \sin(\frac{1}{x})$ in the interval $(0.0001, 0.001)$ is closest to

$2900$

$3000$

$3100$

$3200$

$3300$

Conceptos:conteo de enteros en un rango funciones piso y techo trigonometría

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

$\sin(\frac{1}{x}) = 0$ cuando $\frac{1}{x} = k\pi$ para un entero no nulo $k,$ es decir $x = \dfrac{1}{k\pi}$

$\sin(\frac{1}{x}) = 0$ when $\frac{1}{x} = k\pi$ for a nonzero integer $k,$ i.e. $x = \dfrac{1}{k\pi}$

Pista grande:

Cuenta los enteros $k$ con $\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}$

Count integers $k$ with $\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}$

Solución:

Las intersecciones ocurren donde $\frac{1}{x} = k\pi,$ es decir $x = \dfrac{1}{k\pi}$ para un entero no nulo $k.$

La condición $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ se convierte en $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

El número de tales enteros es $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ lo más cercano a $2900.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The intercepts occur where $\frac{1}{x} = k\pi,$ that is $x = \dfrac{1}{k\pi}$ for a nonzero integer $k.$

The condition $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ becomes $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

The number of such integers is $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ closest to $2900.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Se eligen enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ de modo que $a \lt b \lt c,$ y el sistema de ecuaciones $2x + y = 2003$ y $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ tiene exactamente una solución. ¿Cuál es el mínimo valor de $c$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are chosen so that $a \lt b \lt c,$ and the system of equations $2x + y = 2003$ and $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ has exactly one solution. What is the minimum value of $c?$

$668$

$669$

$1002$

$2003$

$2004$

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

La gráfica de $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ es lineal por tramos con pendientes $-3, -1, 1, 3$

The graph of $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$

Pista grande:

La recta tiene pendiente $-2;$ una única intersección obliga a que toque el vértice en $x = a,$ donde $y = b + c - 2a$

The line has slope $-2;$ a single intersection forces it to touch the corner at $x = a,$ where $y = b + c - 2a$

Solución:

La función $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ es lineal por tramos, con pendientes $-3, -1, 1, 3$ y vértices en $x = a, b, c.$ La recta $2x + y = 2003$ tiene pendiente $-2.$

Una recta de pendiente $-2$ corta la gráfica exactamente una vez solo si pasa por el vértice más a la izquierda $(a,\, b + c - 2a),$ donde la pendiente salta de $-3$ a $-1.$ Al sustituir, $2a + (b + c - 2a) = 2003,$ así que $b + c = 2003.$

Como $b \lt c,$ necesitamos $c \gt \dfrac{2003}{2},$ de modo que $c \ge 1002.$ Esta cota se alcanza tomando $a = 1,$ $b = 1001,$ y $c = 1002.$ Por tanto, el mínimo es $1002.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The function $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$ and corners at $x = a, b, c.$ The line $2x + y = 2003$ has slope $-2.$

A line of slope $-2$ meets this graph exactly once only if it passes through the leftmost corner $(a,\, b + c - 2a),$ where the graph’s slope jumps from $-3$ to $-1.$ Substituting, $2a + (b + c - 2a) = 2003,$ so $b + c = 2003.$

Since $b \lt c,$ we need $c \gt \dfrac{2003}{2},$ so $c \ge 1002.$ This bound is attained: take $a = 1,$ $b = 1001,$ and $c = 1002.$ Therefore the minimum is $1002.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Se eligen al azar e independientemente tres puntos en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres distancias por pares entre los puntos sean menores que el radio del círculo?

Three points are chosen randomly and independently on a circle. What is the probability that all three pairwise distances between the points are less than the radius of the circle?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{24}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

Conceptos:probabilidad geométrica arco cuerda

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Una cuerda es más corta que el radio exactamente cuando su arco mide menos de $60^\circ$

A chord is shorter than the radius exactly when its arc measures less than $60^\circ$

Pista grande:

Las tres cuerdas por pares son cortas precisamente cuando los tres puntos están dentro de algún arco de $60^\circ$

All three pairwise chords are short precisely when the three points lie within some $60^\circ$ arc

Solución:

Una cuerda tiene longitud menor que el radio exactamente cuando el arco que subtiende es menor que $60^\circ,$ ya que la cuerda de un arco de $60^\circ$ es igual al radio.

Las tres cuerdas por pares son más cortas que el radio precisamente cuando los tres puntos están todos dentro de algún arco de $60^\circ.$

En cualquier configuración exitosa, exactamente uno de los tres puntos es el extremo en sentido antihorario de uno de esos arcos que los contienen (salvo casos frontera de probabilidad cero). Ese extremo se puede elegir de $3$ maneras, y cada uno de los otros dos puntos tiene, de forma independiente, probabilidad $\dfrac{1}{6}$ de caer en los siguientes $60^\circ.$ Por lo tanto, la probabilidad es $3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A chord has length less than the radius exactly when the arc it subtends is less than $60^\circ,$ since a chord of a $60^\circ$ arc equals the radius.

All three pairwise chords are shorter than the radius precisely when the three points all lie within some arc of $60^\circ.$

For any successful configuration, exactly one of the three points is the counterclockwise endpoint of such a containing arc (apart from probability-zero boundary cases). Choose that endpoint in $3$ ways; each of the other two points independently has probability $\dfrac{1}{6}$ of lying in the next $60^\circ.$ Hence the probability is $3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is D.