Question

Si $\log_{2x}216=x,$ donde $x$ es real, entonces $x$ es:

If $\log_{2x}216=x,$ where $x$ is real, then $x$ is:

un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube integer

un racional no entero que no es cuadrado ni cubo perfecto

a non-square, non-cube, non-integral rational number

un número irracional

an irrational number

un cuadrado perfecto

a perfect square

un cubo perfecto

a perfect cube

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo exponente función

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Convierte la ecuación logarítmica en $(2x)^x=216$

Convert the logarithmic equation to $(2x)^x=216$

Pista grande:

Usa $216=6^3$ para reconocer una solución real

Use $216=6^3$ to recognize a real solution

Solución:

La ecuación equivale a $(2x)^x=216.$ Como $216=6^3,$ $x=3$ satisface la ecuación. Para ver que es la única solución real admisible, observa que la base exige $x>0$ y $2x\ne1;$ en $0\lt x\lt\frac{1}{2},$ se tiene $x\ln(2x)\lt0,$ mientras que para $x>\frac{1}{2}$ la función $x\ln(2x)$ es estrictamente creciente. Así, $x=3,$ un entero que no es cuadrado ni cubo perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to $(2x)^x=216.$ Since $216=6^3,$ $x=3$ satisfies the equation. To see it is the only admissible real solution, note that the base requires $x>0$ and $2x\ne1;$ on $0\lt x\lt\frac{1}{2},$ $x\ln(2x)\lt0,$ while for $x>\frac{1}{2}$ the function $x\ln(2x)$ is strictly increasing. Thus $x=3,$ a non-square, non-cube integer.

Therefore, the correct answer is A.

1960 AMC 12 Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años