Question

Sean $m$ y $n$ dos números impares cualesquiera, con $n$ menor que $m.$ El mayor entero que divide todos los números posibles de la forma $m^2-n^2$ es:

Let $m$ and $n$ be any two odd numbers, with $n$ less than $m.$ The largest integer which divides all possible numbers of the form $m^2-n^2$ is:

$2$

$4$

$6$

$8$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad paridad diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza $m^2-n^2$ en dos factores pares

Factor $m^2-n^2$ into two even factors

Pista grande:

Entre $m-n$ y $m+n,$ uno es divisible por $4$ ; después prueba un par pequeño

Among $m-n$ and $m+n,$ one is divisible by $4$ ; then test a small pair

Solución:

Tenemos $m^2-n^2=(m-n)(m+n).$ Ambos factores son pares y uno es divisible por $4,$ así que toda diferencia de este tipo es divisible por $8.$ Al tomar $m=3,n=1$ se obtiene $m^2-n^2=8,$ lo que demuestra que ningún entero mayor la divide siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $m^2-n^2=(m-n)(m+n).$ Both factors are even, and one is divisible by $4,$ so every such difference is divisible by $8.$ Taking $m=3,n=1$ gives $m^2-n^2=8,$ proving that no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is D.

1960 AMC 12 Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años