Question

En el paralelogramo $ABCD$ del diagrama adjunto, se traza la recta $DP$ , que biseca $BC$ en $N$ y corta a $AB$ , prolongado, en $P.$ Desde el vértice $C,$ se traza la recta $CQ$ , que biseca el lado $AD$ en $M$ y corta a $AB$ , prolongado, en $Q.$ Las rectas $DP$ y $CQ$ se cortan en $O.$ Si el área del paralelogramo $ABCD$ es $k,$ entonces el área del triángulo $QPO$ es igual a

In parallelogram $ABCD$ of the accompanying diagram, line $DP$ is drawn bisecting $BC$ at $N$ and meeting $AB$ (extended) at $P.$ From vertex $C,$ line $CQ$ is drawn bisecting side $AD$ at $M$ and meeting $AB$ (extended) at $Q.$ Lines $DP$ and $CQ$ meet at $O.$ If the area of parallelogram $ABCD$ is $k,$ then the area of triangle $QPO$ is equal to

$k$

$\frac{6k}{5}$

$\frac{9k}{8}$

$\frac{5k}{4}$

$2k$

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ y $C=(u+1,v)$

Use $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v)$

Pista grande:

Las rectas de los puntos medios cortan la base en $Q=(-1,0)$ y $P=(2,0)$ ; luego halla la altura de $O$

The midpoint lines meet the baseline at $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0)$ ; then find $O$ ’s height

Solución:

Elige las coordenadas $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ y $C=(u+1,v),$ de modo que $k=v.$ Los puntos medios son $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Al prolongar $CM$ y $DN$ hasta $y=0$ , se obtiene $Q=(-1,0)$ y $P=(2,0).$

Al parametrizar $DP$ y $CQ$ , se ve que su intersección es $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Así, $QP=3$ y la altura desde $O$ es $\frac{3v}{4},$ por lo que $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choose coordinates $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v),$ so $k=v.$ The midpoints are $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Extending $CM$ and $DN$ to $y=0$ gives $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0).$

Parameterizing $DP$ and $CQ$ shows their intersection is $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Thus $QP=3$ and the height from $O$ is $\frac{3v}{4},$ so $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1974 AMC 12 Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años