Para números reales positivos x e y , se define x*y=(x× y)/(x+y); entonces

(D) “ * ” es conmutativa y asociativa

(A) “ * ” es conmutativa, pero no asociativa

(B) “ * ” es asociativa, pero no conmutativa

(C) “ * ” no es conmutativa ni asociativa

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple para todos los números x de la forma x=(a_1)/(3)+(a_2)/(3^2)+\cdots+\fraca_253^25, donde a_1 es 0 o 2, a_2 es 0 o 2, …, y a_25 es 0 o 2 ?

(D) 0≤ x\lt(1)/(3) o (2)/(3)≤ x\lt1

1974 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si $x\ne0$ y tampoco es $4$ , y $y\ne0$ y tampoco es $6,$ entonces $\frac2x+\frac3y=\frac12$ es equivalente a

If $x\ne0$ or $4$ and $y\ne0$ or $6,$ then $\frac2x+\frac3y=\frac12$ is equivalent to

$4x+3y=xy$

$y=\frac{4x}{6-y}$

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2$

$\frac{4y}{y-6}=x$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:ecuación racional factorización

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Elimina los tres denominadores a la vez

Clear all three denominators at once

Pista grande:

Después de multiplicar por $2xy,$ aísla los términos que contienen $x$ y factoriza

After multiplying by $2xy,$ isolate the terms containing $x$ and factor

Solución:

Al multiplicar por $2xy$ , se obtiene $4y+6x=xy,$ de modo que $4y=x(y-6).$ Como $y\ne6,$ $x=\frac{4y}{y-6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Multiplying by $2xy$ gives $4y+6x=xy,$ so $4y=x(y-6).$ Since $y\ne6,$ $x=\frac{4y}{y-6}.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

Sean $x_1$ y $x_2$ tales que $x_1\ne x_2$ y $3x_i^2-hx_i=b,$ para $i=1,$ $2.$ Entonces $x_1+x_2$ es igual a

Let $x_1$ and $x_2$ be such that $x_1\ne x_2$ and $3x_i^2-hx_i=b,$ $i=1,$ $2.$ Then $x_1+x_2$ equals

$-\frac h3$

$\frac h3$

$\frac b3$

$2b$

$-\frac b3$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Los dos números dados satisfacen la misma ecuación cuadrática

Both given numbers satisfy the same quadratic equation

Pista grande:

Pasa $b$ al lado izquierdo y usa la fórmula de la suma de las raíces

Move $b$ to the left and use the sum-of-roots formula

Solución:

Los números distintos $x_1,x_2$ son las dos raíces de $3x^2-hx-b=0.$ Por las fórmulas de Vieta, su suma es $-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The distinct numbers $x_1,x_2$ are the two roots of $3x^2-hx-b=0.$ By Vieta’s formulas, their sum is $-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

El coeficiente de $x^7$ en la expansión polinómica de $(1+2x-x^2)^4$ es

The coefficient of $x^7$ in the polynomial expansion of $(1+2x-x^2)^4$ is

$-8$

$12$

$6$

$-12$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:teorema del binomio polinomio

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Un término de grado $7$ debe seleccionar grados $2,$ $2,$ $2,$ $1$ de los cuatro factores

A degree- $7$ term must select degrees $2,$ $2,$ $2,$ $1$ from the four factors

Pista grande:

Elige qué factor aporta $2x$ ; los otros tres aportan $-x^2$

Choose which factor contributes $2x$ ; the other three contribute $-x^2$

Solución:

La única manera de que los cuatro términos seleccionados tengan grado total $7$ es elegir $2x$ una vez y $-x^2$ tres veces. Hay $4$ opciones para el primer término, así que el coeficiente es $4(2)(-1)^3=-8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The only way four selected terms can have total degree $7$ is to choose $2x$ once and $-x^2$ three times. There are $4$ choices for the first factor, so the coefficient is $4(2)(-1)^3=-8.$

Therefore, the correct answer is A.

4.

¿Cuál es el residuo al dividir $x^{51}+51$ entre $x+1$ ?

What is the remainder when $x^{51}+51$ is divided by $x+1?$

$0$

$1$

$49$

$50$

$51$

Respuesta: D

Conceptos:polinomio sustitución exponente

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Para dividir entre $x+1,$ evalúa el polinomio en $-1$

For division by $x+1,$ evaluate the polynomial at $-1$

Pista grande:

El exponente $51$ es impar

The exponent $51$ is odd

Solución:

Por el teorema del residuo, el residuo es $(-1)^{51}+51=-1+51=50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the polynomial remainder theorem, the remainder is $(-1)^{51}+51=-1+51=50.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo y el lado $AB$ se prolonga más allá de $B$ hasta el punto $E.$ Si $\angle BAD=92^\circ$ y $\angle ADC=68^\circ,$ halla $\angle EBC.$

Given a quadrilateral $ABCD$ inscribed in a circle with side $AB$ extended beyond $B$ to point $E,$ if $\angle BAD=92^\circ$ and $\angle ADC=68^\circ,$ find $\angle EBC.$

$66^\circ$

$68^\circ$

$70^\circ$

$88^\circ$

$92^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrilátero cíclico persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios

Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary

Pista grande:

El ángulo exterior buscado también es suplementario de $\angle ABC$

The desired exterior angle is also supplementary to $\angle ABC$

Solución:

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.$ Puesto que $BE$ prolonga a $BA,$ también se cumple $\angle EBC+\angle ABC=180^\circ$ . Por consiguiente, $\angle EBC=\angle ADC=68^\circ.$ El ángulo dado de $92^\circ$ no es necesario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.$ Since $BE$ extends $BA,$ $\angle EBC+\angle ABC=180^\circ$ as well. Hence $\angle EBC=\angle ADC=68^\circ.$ The given $92^\circ$ angle is unnecessary.

Therefore, the correct answer is B.

6.

Para números reales positivos $x$ e $y$ , se define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ entonces

For positive real numbers $x$ and $y$ define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ then

“ $*$ ” es conmutativa, pero no asociativa

“ $*$ ” is commutative but not associative

“ $*$ ” es asociativa, pero no conmutativa

“ $*$ ” is associative but not commutative

“ $*$ ” no es conmutativa ni asociativa

“ $*$ ” is neither commutative nor associative

“ $*$ ” es conmutativa y asociativa

“ $*$ ” is commutative and associative

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La fórmula no cambia al intercambiar $x$ e $y$

The formula is visibly unchanged when $x$ and $y$ are interchanged

Pista grande:

Reescribe la operación mediante su recíproco: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Rewrite the operation through its reciprocal: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Solución:

La simetría en $x,$ $y$ hace que la operación sea conmutativa. Además, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Así, tanto $(x*y)*z$ como $x*(y*z)$ tienen por recíproco $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ por lo que son iguales. La operación también es asociativa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Symmetry in $x,$ $y$ makes the operation commutative. Also, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Thus both $(x*y)*z$ and $x*(y*z)$ have reciprocal $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.

7.

La población de un pueblo aumentó en $1{,}200$ personas y luego esta nueva población disminuyó un $11\%.$ El pueblo tenía entonces $32$ personas menos que antes del aumento de $1{,}200$ . ¿Cuál era la población original?

A town’s population increased by $1{,}200$ people, and then this new population decreased by $11\%.$ The town now had $32$ less people than it did before the $1{,}200$ increase. What is the original population?

$1{,}200$

$11{,}200$

$9{,}968$

$10{,}000$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Sea $P$ la población original y aplica la disminución a $P+1200$

Let $P$ be the original population and apply the decrease to $P+1200$

Pista grande:

La población final es a la vez $0.89(P+1200)$ y $P-32$

The final population is both $0.89(P+1200)$ and $P-32$

Solución:

Sea $P$ la población original. Entonces $0.89(P+1200)=P-32.$ Por lo tanto, $0.11P=1100,$ de donde $P=10{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the original population be $P.$ Then $0.89(P+1200)=P-32.$ Therefore $0.11P=1100,$ giving $P=10{,}000.$

Therefore, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es el menor número primo que divide la suma $3^{11}+5^{13}$ ?

What is the smallest prime number dividing the sum $3^{11}+5^{13}?$

$2$

$3$

$5$

$3^{11}+5^{13}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:paridad primo

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Ambas bases son impares

Both bases are odd

Pista grande:

La suma de dos enteros impares es divisible por el menor primo

The sum of two odd integers is divisible by the smallest prime

Solución:

Tanto $3^{11}$ como $5^{13}$ son impares, así que su suma es par. Por tanto, es divisible por $2,$ el menor número primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $3^{11}$ and $5^{13}$ are odd, so their sum is even. Hence it is divisible by $2,$ the smallest prime.

Therefore, the correct answer is A.

9.

Los enteros mayores que uno se ordenan en cinco columnas como sigue:

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

(En cada fila aparecen cuatro enteros consecutivos; en la primera, tercera y demás filas impares, los enteros ocupan las últimas cuatro columnas y aumentan de izquierda a derecha; en la segunda, cuarta y demás filas pares, ocupan las primeras cuatro columnas y aumentan de derecha a izquierda.)

¿En qué columna aparecerá el número $1{,}000$ ?

The integers greater than one are arranged in five columns as follows:

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

(Four consecutive integers appear in each row; in the first, third and other odd numbered rows, the integers appear in the last four columns and increase from left to right; in the second, fourth and other even numbered rows, the integers appear in the first four columns and increase from right to left.)

In which column will the number $1{,}000$ fall?

primera

first

segunda

second

tercera

third

cuarta

fourth

quinta

fifth

Respuesta: B

Conceptos:reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Observa dónde aparecen los múltiplos de $8$ mostrados

Look at where the displayed multiples of $8$ occur

Pista grande:

Cada ciclo de dos filas contiene ocho enteros consecutivos

Each two-row cycle contains eight consecutive integers

Solución:

Cada par de filas forma un bloque repetitivo de ocho enteros. En cada bloque, su múltiplo de $8$ está en la segunda columna, como ocurre con $8$ y $16.$ Como $1000=125\cdot8,$ también está en la segunda columna.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each pair of rows is a repeating block of eight integers. In every such block, its multiple of $8$ lies in the second column, as do $8$ and $16.$ Since $1000=125\cdot8,$ it also lies in the second column.

Therefore, the correct answer is B.

10.

¿Cuál es el menor valor entero de $k$ para el cual $2x(kx-4)-x^2+6=0$ no tiene raíces reales?

What is the smallest integral value of $k$ such that $2x(kx-4)-x^2+6=0$ has no real roots?

$-1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Primero reescribe la ecuación en la forma cuadrática estándar

First rewrite the equation in standard quadratic form

Pista grande:

No tener raíces reales significa que el discriminante es negativo

No real roots means the discriminant is negative

Solución:

La ecuación es $(2k-1)x^2-8x+6=0.$ Su discriminante es $64-24(2k-1)=88-48k.$ Este es negativo exactamente cuando $k\gt\frac{11}{6},$ así que el menor entero posible es $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is $(2k-1)x^2-8x+6=0.$ Its discriminant is $64-24(2k-1)=88-48k.$ This is negative exactly when $k\gt\frac{11}{6},$ so the least integer possible is $2.$

Therefore, the correct answer is B.

11.

Si $(a,b)$ y $(c,d)$ son dos puntos de la recta cuya ecuación es $y=mx+k,$ entonces la distancia entre $(a,b)$ y $(c,d),$ en términos de $a,$ $c,$ y $m,$ es

If $(a,b)$ and $(c,d)$ are two points on the line whose equation is $y=mx+k,$ then the distance between $(a,b)$ and $(c,d),$ in terms of $a,$ $c,$ and $m,$ is

$|a-c|\sqrt{1+m^2}$

$|a+c|\sqrt{1+m^2}$

$\frac{|a-c|}{\sqrt{1+m^2}}$

$|a-c|(1+m^2)$

$|a-c||m|$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Usa la ecuación de la recta para expresar $b-d$ en términos de $a-c$

Use the line equation to express $b-d$ in terms of $a-c$

Pista grande:

Sustituye $b-d=m(a-c)$ en la fórmula de la distancia

Substitute $b-d=m(a-c)$ into the distance formula

Solución:

Como ambos puntos están en la recta, $b-d=m(a-c).$ Por lo tanto, su distancia es $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since both points are on the line, $b-d=m(a-c).$ Their distance is therefore $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

12.

Si $g(x)=1-x^2$ y $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ cuando $x\ne0,$ entonces $f(\frac{1}{2})$ es igual a

If $g(x)=1-x^2$ and $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ when $x\ne0,$ then $f(\frac{1}{2})$ equals

$\frac{3}{4}$

$1$

$3$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

Respuesta: B

Conceptos:función sustitución

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Elige un $x$ no nulo para el cual $g(x)=\frac{1}{2}$

Choose a nonzero $x$ for which $g(x)=\frac{1}{2}$

Pista grande:

La ecuación $1-x^2=\frac{1}{2}$ determina $x^2$ directamente

The equation $1-x^2=\frac{1}{2}$ determines $x^2$ directly

Solución:

Si $g(x)=\frac{1}{2},$ entonces $x^2=\frac{1}{2},$ y cualquiera de los valores correspondientes de $x$ es no nulo. Por tanto, $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $g(x)=\frac{1}{2},$ then $x^2=\frac{1}{2},$ and either corresponding $x$ is nonzero. Hence $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

¿Cuál de las siguientes proposiciones equivale a «Si $P$ es verdadera, entonces $Q$ es falsa»?

Which of the following is equivalent to “If $P$ is true then $Q$ is false”?

« $P$ es verdadera o $Q$ es falsa».

“ $P$ is true or $Q$ is false.”

«Si $Q$ es falsa, entonces $P$ es verdadera».

“If $Q$ is false then $P$ is true.”

«Si $P$ es falsa, entonces $Q$ es verdadera».

“If $P$ is false then $Q$ is true.”

«Si $Q$ es verdadera, entonces $P$ es falsa».

“If $Q$ is true then $P$ is false.”

«Si $Q$ es verdadera, entonces $P$ es verdadera».

“If $Q$ is true then $P$ is true.”

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Una implicación equivale a su contrapositiva

An implication is equivalent to its contrapositive

Pista grande:

Invierte la implicación y niega tanto « $P$ verdadera» como « $Q$ falsa»

Reverse the implication and negate both “ $P$ true” and “ $Q$ false”

Solución:

La contrapositiva de « $P$ verdadera implica $Q$ falsa» es « $Q$ no falsa implica $P$ no verdadera». Esto es exactamente «Si $Q$ es verdadera, entonces $P$ es falsa».

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The contrapositive of “ $P$ true implies $Q$ false” is “ $Q$ not false implies $P$ not true.” This is exactly “If $Q$ is true then $P$ is false.”

Therefore, the correct answer is D.

14.

¿Cuál afirmación es correcta?

Which statement is correct?

Si $x\lt0,$ entonces $x^2\gt x.$

If $x\lt0,$ then $x^2\gt x.$

Si $x^2\gt0,$ entonces $x\gt0.$

If $x^2\gt0,$ then $x\gt0.$

Si $x^2\gt x,$ entonces $x\gt0.$

If $x^2\gt x,$ then $x\gt0.$

Si $x^2\gt x,$ entonces $x\lt0.$

If $x^2\gt x,$ then $x\lt0.$

Si $x\lt1,$ entonces $x^2\lt x.$

If $x\lt1,$ then $x^2\lt x.$

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Para un $x$ negativo, compara primero $x^2$ con cero

For a negative $x,$ compare $x^2$ first with zero

Pista grande:

Valores de prueba sencillos como $-1,$ $\frac12,$ y $2$ descartan las demás implicaciones

Simple test values such as $-1,$ $\frac12,$ and $2$ reject the other implications

Solución:

Si $x\lt0,$ entonces $x^2\gt0\gt x,$ de modo que la opción A siempre se cumple. Los valores $x=-1,$ $x=-1,$ $x=2,$ y $x=-1$ refutan, respectivamente, B, C, D y E.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $x\lt0,$ then $x^2\gt0\gt x,$ so choice A always holds. The values $x=-1,$ $x=-1,$ $x=2,$ and $x=-1$ respectively disprove B, C, D, and E.

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si $x\lt-2$ , entonces $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ es igual a

If $x\lt-2$ then $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ equals

$2+x$

$-2-x$

$x$

$-x$

$-2$

Respuesta: B

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Resuelve primero el valor absoluto interior usando $1+x\lt-1$

Resolve the inner absolute value first using $1+x\lt-1$

Pista grande:

Después de sustituir $|1+x|$ por $-1-x,$ determina el signo de $2+x$

After replacing $|1+x|$ by $-1-x,$ determine the sign of $2+x$

Solución:

Como $x\lt-2,$ se tiene $1+x\lt0,$ así que $|1+x|=-1-x.$ Por tanto, $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ se convierte en $|1-(-1-x)|,$ que es $|2+x|=-2-x$ porque $2+x\lt0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $x\lt-2,$ $1+x\lt0,$ so $|1+x|=-1-x.$ Thus $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ becomes $|1-(-1-x)|,$ which is $|2+x|=-2-x$ because $2+x\lt0.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

Un círculo de radio $r$ está inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, y un círculo de radio $R$ está circunscrito al triángulo. Entonces $\frac{R}{r}$ es igual a

A circle of radius $r$ is inscribed in a right isosceles triangle, and a circle of radius $R$ is circumscribed about the triangle. Then $\frac{R}{r}$ equals

$1+\sqrt2$

$\frac{2+\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2-1}{2}$

$\frac{1+\sqrt2}{2}$

$2(2-\sqrt2)$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo especial circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sea $a$ la longitud de cada cateto y expresa ambos radios en términos de $a$

Let each leg have length $a$ and express both radii in terms of $a$

Pista grande:

En un triángulo rectángulo, el circunradio es la mitad de la hipotenusa; el inradio es $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

For a right triangle, the circumradius is half the hypotenuse; the inradius is $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

Solución:

Con ambos catetos de longitud $a$ e hipotenusa $a\sqrt2,$ $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

With both legs of length $a$ and hypotenuse $a\sqrt2,$ $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

17.

Si $i^2=-1,$ entonces $(1+i)^{20}-(1-i)^{20}$ es igual a

If $i^2=-1,$ then $(1+i)^{20}-(1-i)^{20}$ equals

$-1024$

$-1024i$

$0$

$1024$

$1024i$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo exponente

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Calcula la cuarta potencia de cada base conjugada

Compute the fourth power of each conjugate base

Pista grande:

Tanto $(1+i)^4$ como $(1-i)^4$ son iguales a $-4$

Both $(1+i)^4$ and $(1-i)^4$ equal $-4$

Solución:

Como $(1+i)^2=2i,$ tenemos $(1+i)^4=-4.$ Del mismo modo, $(1-i)^2=-2i$ y $(1-i)^4=-4.$ Por tanto, cada vigésima potencia es igual a $(-4)^5=-1024,$ y su diferencia es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $(1+i)^2=2i,$ we have $(1+i)^4=-4.$ Likewise $(1-i)^2=-2i$ and $(1-i)^4=-4.$ Hence each twentieth power equals $(-4)^5=-1024,$ and their difference is $0.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

Si $\log_8 3=p$ y $\log_3 5=q,$ entonces, en términos de $p$ y $q,$ $\log_{10}5$ es igual a

If $\log_8 3=p$ and $\log_3 5=q,$ then, in terms of $p$ and $q,$ $\log_{10}5$ equals

$pq$

$\frac{3p+q}{5}$

$\frac{1+3pq}{p+q}$

$\frac{3pq}{1+3pq}$

$p^2+q^2$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Convierte todos los logaritmos a base $2$

Convert every logarithm to base $2$

Pista grande:

Los datos implican $\log_2 3=3p$ y $\log_2 5=3pq$

The givens imply $\log_2 3=3p$ and $\log_2 5=3pq$

Solución:

De $p=\log_8 3,$ se obtiene $\log_2 3=3p.$ Por lo tanto, $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Como $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $p=\log_8 3,$ $\log_2 3=3p.$ Therefore $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Since $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

En la figura adjunta, $ABCD$ es un cuadrado y $CMN$ es un triángulo equilátero. Si el área de $ABCD$ es una pulgada cuadrada, entonces el área de $CMN$ , en pulgadas cuadradas, es

In the adjoining figure $ABCD$ is a square and $CMN$ is an equilateral triangle. If the area of $ABCD$ is one square inch, then the area of $CMN$ in square inches is

$2\sqrt3-3$

$1-\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{\sqrt2}{3}$

$4-2\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo equilátero Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

El cuadrado tiene lado $1;$ establece $DM=NB=x$ comparando los lados iguales $CM$ y $CN$

The square has side $1;$ set $DM=NB=x$ by comparing the equal sides $CM$ and $CN$

Pista grande:

Iguala $CM^2=1+x^2$ con $MN^2=2(1-x)^2$

Equate $CM^2=1+x^2$ with $MN^2=2(1-x)^2$

Solución:

El cuadrado tiene lado $1.$ Como $CM=CN,$ la simetría de los cuadrados de sus longitudes da $DM=NB=x.$ Además, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Al igualarlas, pues $CMN$ es equilátero, se obtiene $x^2-4x+1=0.$ La raíz en $(0,1)$ es $x=2-\sqrt3.$

El cuadrado del lado del triángulo es $1+x^2,$ por lo que su área es $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The square has side $1.$ Since $CM=CN,$ symmetry of their squared lengths gives $DM=NB=x.$ Also, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Equating these because $CMN$ is equilateral gives $x^2-4x+1=0.$ The root in $(0,1)$ is $x=2-\sqrt3.$

The triangle’s side has square $1+x^2,$ so its area is $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

20.

Sea $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}$ entonces

Let $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}$ then

$T\lt1$

$T=1$

$1\lt T\lt2$

$T\gt2$

$\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}$

Respuesta: D

Conceptos:racionalización del denominador telescópica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Racionaliza cada denominador por separado

Rationalize each denominator separately

Pista grande:

Cada denominador es una diferencia de raíces cuadradas cuyos cuadrados difieren en $1$

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by $1$

Solución:

Al racionalizar los cinco términos se obtiene $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}$ Por tanto, $T\gt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rationalizing the five terms gives $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}$ Thus $T\gt2.$

Therefore, the correct answer is D.

21.

En una progresión geométrica de términos positivos, la diferencia entre el quinto y el cuarto término es $576,$ y la diferencia entre el segundo y el primero es $9.$ ¿Cuál es la suma de los primeros cinco términos de esta progresión?

In a geometric series of positive terms the difference between the fifth and fourth terms is $576,$ and the difference between the second and first terms is $9.$ What is the sum of the first five terms of this series?

$1061$

$1023$

$1024$

$768$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Denota el primer término por $a$ y la razón común por $r$

Write the first term as $a$ and the common ratio as $r$

Pista grande:

Divide $ar^3(r-1)=576$ entre $a(r-1)=9$

Divide $ar^3(r-1)=576$ by $a(r-1)=9$

Solución:

Sea $a$ el primer término y $r$ la razón. Las condiciones dan $\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned}$ Su cociente da $r^3=64,$ así que $r=4.$ Entonces $3a=9,$ y por ello $a=3.$ La suma es $\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first term be $a$ and the ratio be $r.$ The conditions give $\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned}$ Their quotient gives $r^3=64,$ so $r=4.$ Then $3a=9,$ hence $a=3.$ The sum is $\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

22.

El valor mínimo de $\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ se alcanza cuando $A$ es

The minimum value of $\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ is attained when $A$ is

$-180^\circ$

$60^\circ$

$120^\circ$

$0^\circ$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Combina el seno y el coseno en un solo seno desplazado de amplitud $2$

Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude $2$

Pista grande:

Usa $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

Use $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

Solución:

Sea $u=\frac{A}{2}.$ Entonces $\sin u-\sqrt3\cos u$ es igual a $2\sin(u-60^\circ).$ Su mínimo ocurre cuando $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,$ así que $A=660^\circ+720^\circ n$ para algún entero $n.$ Ninguna de las primeras cuatro opciones tiene esta forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=\frac{A}{2}.$ Then $\sin u-\sqrt3\cos u$ equals $2\sin(u-60^\circ).$ Its minimum occurs when $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,$ so $A=660^\circ+720^\circ n$ for an integer $n.$ None of the first four choices has this form.

Therefore, the correct answer is E.

23.

En la figura adjunta, $TP$ y $T'Q$ son tangentes paralelas a un círculo de radio $r,$ y $T$ y $T'$ son los puntos de tangencia. $PT''Q$ es una tercera tangente cuyo punto de tangencia es $T''$ . Si $TP=4$ y $T'Q=9$ , entonces $r$ es

In the adjoining figure $TP$ and $T'Q$ are parallel tangents to a circle of radius $r,$ with $T$ and $T'$ the points of tangency. $PT''Q$ is a third tangent with $T''$ as point of tangency. If $TP=4$ and $T'Q=9$ then $r$ is

$\frac{25}{6}$

$6$

$\frac{25}{4}$

un número distinto de $\frac{25}{6},$ $6,$ o $\frac{25}{4}$

a number other than $\frac{25}{6},$ $6,$ or $\frac{25}{4}$

no se puede determinar con la información dada

not determinable from the given information

Respuesta: B

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo semejanza

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

El centro está en cada bisectriz formada por dos tangentes desde el mismo punto exterior

The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point

Pista grande:

Demuestra que $\angle POQ=90^\circ$ y usa en $T''$ el teorema de la altura a la hipotenusa

Show that $\angle POQ=90^\circ$ and use the altitude-to-hypotenuse theorem at $T''$

Solución:

Los radios a los puntos de tangencia forman triángulos rectángulos congruentes desde cada punto exterior, por lo que $OP$ y $OQ$ bisecan los dos ángulos entre tangentes. Como las otras dos tangentes son paralelas, estos medios ángulos suman $90^\circ;$ de ahí que $\angle POQ=90^\circ.$

Así, $OT''=r$ es la altura a la hipotenusa $PQ.$ La igualdad de los segmentos tangentes da $PT''=PT=4$ y $QT''=QT'=9.$ El teorema de la altura produce $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,$ por lo que $r=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so $OP$ and $OQ$ bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to $90^\circ;$ hence $\angle POQ=90^\circ.$

Thus $OT''=r$ is the altitude to the hypotenuse $PQ.$ Equal tangent segments give $PT''=PT=4$ and $QT''=QT'=9.$ The altitude theorem yields $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,$ so $r=6.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

Se lanza un dado equilibrado seis veces. La probabilidad de obtener cinco o seis en por lo menos cinco lanzamientos es

A fair die is rolled six times. The probability of rolling at least a five at least five times is

$\frac{13}{729}$

$\frac{12}{729}$

$\frac{2}{729}$

$\frac{3}{729}$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad binomial dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Un lanzamiento es un éxito con probabilidad $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

A roll is a success with probability $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Pista grande:

Suma los casos disjuntos de exactamente cinco éxitos y exactamente seis éxitos

Add the disjoint cases of exactly five successes and exactly six successes

Solución:

Sea un éxito obtener $5$ o $6,$ de modo que su probabilidad sea $\frac{1}{3}.$ La probabilidad buscada es $\begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let a success be a $5$ or $6,$ so its probability is $\frac{1}{3}.$ The desired probability is $\begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

25.

En el paralelogramo $ABCD$ del diagrama adjunto, se traza la recta $DP$ , que biseca $BC$ en $N$ y corta a $AB$ , prolongado, en $P.$ Desde el vértice $C,$ se traza la recta $CQ$ , que biseca el lado $AD$ en $M$ y corta a $AB$ , prolongado, en $Q.$ Las rectas $DP$ y $CQ$ se cortan en $O.$ Si el área del paralelogramo $ABCD$ es $k,$ entonces el área del triángulo $QPO$ es igual a

In parallelogram $ABCD$ of the accompanying diagram, line $DP$ is drawn bisecting $BC$ at $N$ and meeting $AB$ (extended) at $P.$ From vertex $C,$ line $CQ$ is drawn bisecting side $AD$ at $M$ and meeting $AB$ (extended) at $Q.$ Lines $DP$ and $CQ$ meet at $O.$ If the area of parallelogram $ABCD$ is $k,$ then the area of triangle $QPO$ is equal to

$k$

$\frac{6k}{5}$

$\frac{9k}{8}$

$\frac{5k}{4}$

$2k$

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ y $C=(u+1,v)$

Use $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v)$

Pista grande:

Las rectas de los puntos medios cortan la base en $Q=(-1,0)$ y $P=(2,0)$ ; luego halla la altura de $O$

The midpoint lines meet the baseline at $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0)$ ; then find $O$ ’s height

Solución:

Elige las coordenadas $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ y $C=(u+1,v),$ de modo que $k=v.$ Los puntos medios son $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Al prolongar $CM$ y $DN$ hasta $y=0$ , se obtiene $Q=(-1,0)$ y $P=(2,0).$

Al parametrizar $DP$ y $CQ$ , se ve que su intersección es $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Así, $QP=3$ y la altura desde $O$ es $\frac{3v}{4},$ por lo que $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choose coordinates $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v),$ so $k=v.$ The midpoints are $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Extending $CM$ and $DN$ to $y=0$ gives $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0).$

Parameterizing $DP$ and $CQ$ shows their intersection is $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Thus $QP=3$ and the height from $O$ is $\frac{3v}{4},$ so $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

26.

El número de divisores enteros positivos distintos de $(30)^4$ , excluyendo $1$ y $(30)^4$ , es

The number of distinct positive integral divisors of $(30)^4$ excluding $1$ and $(30)^4$ is

$100$

$125$

$123$

$30$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Factoriza $30^4$ como producto de potencias de $2,$ $3,$ y $5$

Factor $30^4$ into powers of $2,$ $3,$ and $5$

Pista grande:

Elige independientemente cada exponente primo de $0$ a $4,$ y luego elimina dos divisores

Choose each prime exponent independently from $0$ through $4,$ then remove two divisors

Solución:

Como $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ un divisor elige independientemente cada uno de los tres exponentes entre $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ Hay $5^3=125$ divisores. Al excluir $1$ y $30^4$ , quedan $125-2=123.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ a divisor independently chooses each of three exponents from $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ There are $5^3=125$ divisors. Excluding $1$ and $30^4$ leaves $125-2=123.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

Si $f(x)=3x+2$ para todo número real $x,$ entonces la afirmación:

« $|f(x)+4|\lt a$ siempre que $|x+2|\lt b$ , $a\gt0$ y $b\gt0$ »

es verdadera cuando

If $f(x)=3x+2$ for all real $x,$ then the statement:

“ $|f(x)+4|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$ and $a\gt0$ and $b\gt0$ ”

is true when

$b\le \frac{a}{3}$

$b\gt \frac{a}{3}$

$a\le \frac{b}{3}$

$a\gt \frac{b}{3}$

La afirmación nunca es verdadera.

The statement is never true.

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto función desigualdad

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Factoriza $f(x)+4$ en términos de $x+2$

Factor $f(x)+4$ in terms of $x+2$

Pista grande:

La condición se convierte en $3|x+2|\lt a$ siempre que $|x+2|\lt b$

The condition becomes $3|x+2|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$

Solución:

Tenemos $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.$ Si $|x+2|\lt b$ y $b\le \frac{a}{3},$ entonces $3|x+2|\lt3b\le a,$ como se requiere. Si $b\gt \frac{a}{3},$ se puede elegir $|x+2|$ estrictamente entre $\frac{a}{3}$ y $b,$ de modo que la afirmación falla. Por tanto, la condición exacta es $b\le \frac{a}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.$ If $|x+2|\lt b$ and $b\le \frac{a}{3},$ then $3|x+2|\lt3b\le a,$ as required. If $b\gt \frac{a}{3},$ one can choose $|x+2|$ strictly between $\frac{a}{3}$ and $b,$ so the statement fails. Thus the exact condition is $b\le \frac{a}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple para todos los números $x$ de la forma $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ donde $a_1$ es $0$ o $2,$ $a_2$ es $0$ o $2,$ $\ldots,$ y $a_{25}$ es $0$ o $2$ ?

Which of the following is satisfied by all numbers $x$ of the form $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ where $a_1$ is $0$ or $2,$ $a_2$ is $0$ or $2,$ $\ldots,$ $a_{25}$ is $0$ or $2?$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}\le x\lt\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ o $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ or $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica sucesión geométrica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Separa los casos $a_1=0$ y $a_1=2$

Separate the cases $a_1=0$ and $a_1=2$

Pista grande:

Acota los términos restantes mediante la cola geométrica infinita $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

Bound the remaining terms by the infinite geometric tail $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

Solución:

Si $a_1=0,$ entonces $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ Si $a_1=2,$ entonces $x\ge\frac{2}{3},$ mientras que $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Por consiguiente, todo $x$ de esta forma se encuentra en uno de los dos tercios exteriores indicados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $a_1=0,$ then $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ If $a_1=2,$ then $x\ge\frac{2}{3},$ while $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Hence every such $x$ lies in one of the two stated outer thirds.

Therefore, the correct answer is D.

29.

Para $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ , sea $S_p$ la suma de los primeros $40$ términos de la progresión aritmética cuyo primer término es $p$ y cuya diferencia común es $2p-1;$ entonces $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ es

For $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ let $S_p$ be the sum of the first $40$ terms of the arithmetic progression whose first term is $p$ and whose common difference is $2p-1;$ then $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ is

$80{,}000$

$80{,}200$

$80{,}400$

$80{,}600$

$80{,}800$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa la fórmula de una serie aritmética de $40$ términos para un $p$ fijo

Use the $40$ -term arithmetic-series formula for a fixed $p$

Pista grande:

Simplifica $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ antes de sumar sobre $p$

Simplify $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ before summing over $p$

Solución:

Para cada $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Como $1+2+\cdots+10=55,$ se tiene $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For each $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Since $1+2+\cdots+10=55,$ therefore $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

30.

Un segmento se divide de modo que la parte menor es a la parte mayor como la parte mayor es al segmento completo. Si $R$ es la razón entre la parte menor y la mayor, entonces el valor de $R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1}$ es

A line segment is divided so that the lesser part is to the greater part as the greater part is to the whole. If $R$ is the ratio of the lesser part to the greater part, then the value of $R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1}$ is

$2$

$2R$

$R^{-1}$

$2+R^{-1}$

$2+R$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Traduce la condición de división como $R=\frac{1}{1+R}$

Translate the division condition into $R=\frac{1}{1+R}$

Pista grande:

A partir de $R^2+R=1,$ deduce $R^{-1}=R+1$ y simplifica desde el exponente más interior hacia afuera

From $R^2+R=1,$ derive $R^{-1}=R+1$ and simplify from the innermost exponent outward

Solución:

Escala la parte mayor a $1,$ de modo que la menor sea $R.$ La condición da $R=\frac{1}{1+R},$ por lo que $R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1.$ En consecuencia, $R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2.$ Al avanzar hacia afuera, el exponente del $R$ exterior se convierte en $\begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned}$ Por lo tanto, la expresión completa es $R^2+R^{-1}=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Scale the greater part to $1,$ making the lesser part $R.$ The condition gives $R=\frac{1}{1+R},$ so $R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1.$ Consequently $R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2.$ Working outward, the exponent of the outer $R$ becomes $\begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned}$ The whole expression is therefore $R^2+R^{-1}=2.$

Therefore, the correct answer is A.

Problemas del 1974 AMC 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande: