Question

Si $(a,b)$ y $(c,d)$ son dos puntos de la recta cuya ecuación es $y=mx+k,$ entonces la distancia entre $(a,b)$ y $(c,d),$ en términos de $a,$ $c,$ y $m,$ es

If $(a,b)$ and $(c,d)$ are two points on the line whose equation is $y=mx+k,$ then the distance between $(a,b)$ and $(c,d),$ in terms of $a,$ $c,$ and $m,$ is

$|a-c|\sqrt{1+m^2}$

$|a+c|\sqrt{1+m^2}$

$\frac{|a-c|}{\sqrt{1+m^2}}$

$|a-c|(1+m^2)$

$|a-c||m|$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Usa la ecuación de la recta para expresar $b-d$ en términos de $a-c$

Use the line equation to express $b-d$ in terms of $a-c$

Pista grande:

Sustituye $b-d=m(a-c)$ en la fórmula de la distancia

Substitute $b-d=m(a-c)$ into the distance formula

Solución:

Como ambos puntos están en la recta, $b-d=m(a-c).$ Por lo tanto, su distancia es $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since both points are on the line, $b-d=m(a-c).$ Their distance is therefore $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 Problema 11

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años