1970 AMC 12 Problema 11

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Si dos factores de $2x^3-hx+k$ son $x+2$ y $x-1,$ el valor de $|2h-3k|$ es:

If two factors of $2x^3-hx+k$ are $x+2$ and $x-1,$ the value of $|2h-3k|$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sustitución sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Aplica el teorema del factor en $x=-2$ y $x=1$

Apply the factor theorem at $x=-2$ and $x=1$

Pista grande:

Resuelve $-16+2h+k=0$ y $2-h+k=0$

Solve $-16+2h+k=0$ and $2-h+k=0$

Solución:

El teorema del factor da $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0. \end{aligned}$ Al restar la segunda ecuación de la primera obtenemos $3h=18,$ así que $h=6$ y luego $k=4.$ Por tanto, $|2h-3k|=|12-12|=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factor theorem gives $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0. \end{aligned}$ Subtracting the second equation from the first gives $3h=18,$ so $h=6$ and then $k=4.$ Hence $|2h-3k|=|12-12|=0.$

Therefore, the correct answer is E.

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