Question

Si un arco de $60^\circ$ del círculo $\mathrm{I}$ tiene la misma longitud que un arco de $45^\circ$ del círculo $\mathrm{II},$ la razón entre el área del círculo $\mathrm{I}$ y la del círculo $\mathrm{II}$ es:

If an arc of $60^\circ$ on circle $\mathrm{I}$ has the same length as an arc of $45^\circ$ on circle $\mathrm{II},$ the ratio of the area of circle $\mathrm{I}$ to that of circle $\mathrm{II}$ is:

$16:9$

$9:16$

$4:3$

$3:4$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:arco área del círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Iguala $(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r$ para los dos arcos

Equate $(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r$ for the two arcs

Pista grande:

Eleva al cuadrado la razón de radios resultante para obtener la razón de áreas

Square the resulting radius ratio to get the area ratio

Solución:

La igualdad de las longitudes de arco da $60r_1=45r_2,$ por lo que $\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.$ Las áreas de los círculos varían como los cuadrados de sus radios, lo que da $A_1:A_2=9:16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal arc lengths give $60r_1=45r_2,$ so $\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.$ Circle areas scale as the squares of the radii, giving $A_1:A_2=9:16.$

Therefore, the correct answer is B.

1968 AMC 12 Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años