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1974 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 1974 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1974 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Si i2=−1,i^2=-1, entonces (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} es igual a

If i2=−1,i^2=-1, then (1+i)20−(1−i)20(1+i)^{20}-(1-i)^{20} equals

−1024-1024

−1024i-1024i

00

10241024

1024i1024i

Respuesta: C
Conceptos:número complejoexponente
Nivel de dificultad: 1540
Pista pequeña:

Calcula la cuarta potencia de cada base conjugada

Compute the fourth power of each conjugate base

Pista grande:

Tanto (1+i)4(1+i)^4 como (1−i)4(1-i)^4 son iguales a −4-4

Both (1+i)4(1+i)^4 and (1−i)4(1-i)^4 equal −4-4

Solución:

Como (1+i)2=2i,(1+i)^2=2i, tenemos (1+i)4=−4.(1+i)^4=-4. Del mismo modo, (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i y (1−i)4=−4.(1-i)^4=-4. Por tanto, cada vigésima potencia es igual a (−4)5=−1024,(-4)^5=-1024, y su diferencia es 0.0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since (1+i)2=2i,(1+i)^2=2i, we have (1+i)4=−4.(1+i)^4=-4. Likewise (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i and (1−i)4=−4.(1-i)^4=-4. Hence each twentieth power equals (−4)5=−1024,(-4)^5=-1024, and their difference is 0.0.

Therefore, the correct answer is C.

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