Question

¿Cuántos polinomios de la forma $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$ $+ 2020,$ donde $a, b, c,$ y $d$ son números reales, tienen la propiedad de que siempre que $r$ es raíz, también lo es $\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot r$ ? (Nota que $i = \sqrt{-1}.$ )

How many polynomials of the form $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$ $+ 2020,$ where $a, b, c,$ and $d$ are real numbers, have the property that whenever $r$ is a root, so is $\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\cdot r?$ (Note that $i = \sqrt{-1}.$ )

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Aquí $\omega = \tfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Como $0$ no es raíz, el conjunto de raíces distintas es cerrado bajo la multiplicación por $\omega,$ así que consta de tríos $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$ igualmente espaciados en argumento. Cinco raíces no pueden llenar dos de esos tríos, así que hay exactamente un trío, con multiplicidades $m_1, m_2, m_3 \ge 1$ que suman $5.$

Los coeficientes reales exigen que el multiconjunto de raíces sea cerrado bajo conjugación. Esto solo es posible cuando los argumentos del trío son simétricos respecto al eje real, lo que ocurre para las dos configuraciones $\{0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\}$ y $\{60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}.$

El producto de las raíces debe ser igual a $-2020.$ En la primera configuración la raíz real es positiva, forzando un producto positivo, lo cual es imposible. En la segunda, la raíz real es negativa y el producto es $-\rho^5;$ tomar $\rho^5 = 2020$ funciona, y los dos patrones de multiplicidad simétricos por conjugación $(1, 3, 1)$ y $(2, 1, 2)$ dan cada uno un polinomio válido. Por lo tanto hay $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $\omega = \tfrac{-1 + i\sqrt3}{2}$ is a primitive cube root of unity. Since $0$ is not a root, the set of distinct roots is closed under multiplication by $\omega,$ so it consists of triples $\{r, \omega r, \omega^2 r\}$ equally spaced in argument. Five roots cannot fill two such triples, so there is exactly one triple, with multiplicities $m_1, m_2, m_3 \ge 1$ summing to $5.$

Real coefficients require the root multiset to be closed under conjugation. This is possible only when the triple's arguments are symmetric about the real axis, which happens for the two configurations $\{0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\}$ and $\{60^\circ, 180^\circ, 300^\circ\}.$

The product of the roots must equal $-2020.$ In the first configuration the real root is positive, forcing a positive product, which is impossible. In the second, the real root is negative and the product is $-\rho^5;$ setting $\rho^5 = 2020$ works, and the two conjugate-symmetric multiplicity patterns $(1, 3, 1)$ and $(2, 1, 2)$ each give a valid polynomial. Hence there are $2.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años