Question

Sea $f$ una función con las siguientes propiedades:

(i) $f(1) = 1,$ y

(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ para cualquier entero positivo $n$ .

¿Cuál es el valor de $f(2^{100})$ ?

Let $f$ be a function with the following properties:

(i) $f(1) = 1,$ and

(ii) $f(2n) = n \cdot f(n)$ for any positive integer $n.$

What is the value of $f(2^{100})?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

Solución:

Aplicando $f(2n) = n \cdot f(n)$ con $n = 2^{k},$ obtenemos $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).$

Desenrollando desde $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,$ los exponentes se acumulan: $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{n(n-1)/2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, $f(2^{100}) = 2^{100 \cdot 99 / 2} = 2^{4950}.$

Por consiguiente, la respuesta correcta es D.

Applying $f(2n) = n \cdot f(n)$ with $n = 2^{k},$ we get $f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).$

Unwinding from $f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,$ the exponents accumulate: $\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{n(n-1)/2}. \end{aligned}$

Therefore $f(2^{100}) = 2^{100 \cdot 99 / 2} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años