2003 AMC 12B Problema 17

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 17 del 2003 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1540

17.

Si $\log(xy^3) = 1$ y $\log(x^2y) = 1,$ ¿cuánto vale $\log(xy)$ ?

If $\log(xy^3) = 1$ and $\log(x^2y) = 1,$ what is $\log(xy)?$

$-\dfrac{1}{2}$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$1$

Sea $X = \log x$ y $Y = \log y.$ Entonces $X + 3Y = 1$ y $2X + Y = 1.$

Al resolver se obtiene $X = \dfrac{2}{5}$ y $Y = \dfrac{1}{5},$ así que $\log(xy) = X + Y = \frac{3}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $X = \log x$ and $Y = \log y.$ Then $X + 3Y = 1$ and $2X + Y = 1.$

Solving gives $X = \dfrac{2}{5}$ and $Y = \dfrac{1}{5},$ so $\log(xy) = X + Y = \frac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is D.