Question

Si $a$ es un entero distinto de cero y $b$ es un número positivo tal que $ab^2=\log_{10}b,$ ¿cuál es la mediana del conjunto $\{0,1,a,b,1/b\}$ ?

If $a$ is a nonzero integer and $b$ is a positive number such that $ab^2=\log_{10}b,$ what is the median of the set $\{0,1,a,b,1/b\}?$

$0$

$1$

$a$

$b$

$\dfrac{1}{b}$

Solución:

Para $b\gt0$ , tenemos $b\lt10^b$ , y por tanto $\log_{10}b\lt b$ . Si $b=1$ , entonces $a=0$ . Si $b\gt1$ , entonces $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1$ , así que $a$ no podría ser un entero.

Por tanto $0\lt b\lt1,$ así que $\log_{10}b\lt0$ y $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Así $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ y el valor central del conjunto ordenado es $b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $b\gt0$ , we have $b\lt10^b$ , hence $\log_{10}b\lt b$ . If $b=1$ , then $a=0$ . If $b\gt1$ , then $0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1$ , so $a$ could not be an integer.

Hence $0\lt b\lt1,$ so $\log_{10}b\lt0$ and $a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.$ Thus $a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,$ and the middle value of the sorted set is $b.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años