Question

¿Cuántos números complejos no nulos $z$ tienen la propiedad de que $0,$ $z,$ y $z^3,$ al representarse como puntos en el plano complejo, sean los tres vértices distintos de un triángulo equilátero?

How many nonzero complex numbers $z$ have the property that $0,$ $z,$ and $z^3,$ when represented by points in the complex plane, are the three distinct vertices of an equilateral triangle?

$0$

$1$

$2$

$4$

infinitos

infinitely many

Solución:

Los tres puntos forman un triángulo equilátero si y solo si $|z|=|z^3|=|z^3-z|.$ De $|z|=|z^3|=|z|^3$ obtenemos $|z|=1.$

Entonces $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,$ así que necesitamos $|z^2-1|=1.$ Escribiendo $z=e^{i\theta},$ $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,$ así que $|\sin\theta|=\dfrac12.$

Esto da $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,$ cuatro valores de $z,$ todos generando vértices distintos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The three points form an equilateral triangle iff $|z|=|z^3|=|z^3-z|.$ From $|z|=|z^3|=|z|^3$ we get $|z|=1.$

Then $|z^3-z|=|z|\,|z^2-1|=|z^2-1|,$ so we need $|z^2-1|=1.$ Writing $z=e^{i\theta},$ $|z^2-1|=2|\sin\theta|=1,$ so $|\sin\theta|=\dfrac12.$

This gives $\theta=30^\circ,150^\circ,210^\circ,330^\circ,$ four values of $z,$ all yielding distinct vertices.

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años