Question

Hay hojas de nenúfar en fila numeradas de $0$ a $11,$ en ese orden. Hay depredadores en las hojas $3$ y $6,$ y un bocado de comida en la hoja $10.$ La rana Fiona empieza en la hoja $0,$ y desde cualquier hoja dada tiene una probabilidad $\dfrac12$ de saltar a la siguiente hoja, y la misma probabilidad de saltar $2$ hojas. ¿Cuál es la probabilidad de que Fiona llegue a la hoja $10$ sin caer en la hoja $3$ ni en la hoja $6$ ?

There are lily pads in a row numbered $0$ to $11,$ in that order. There are predators on lily pads $3$ and $6,$ and a morsel of food on lily pad $10.$ Fiona the frog starts on pad $0,$ and from any given lily pad, has a $\dfrac12$ chance to hop to the next pad, and an equal chance to jump $2$ pads. What is the probability that Fiona reaches pad $10$ without landing on either pad $3$ or pad $6?$

$\dfrac{15}{256}$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{15}{128}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Sea $p(n)$ la probabilidad de caer en la hoja $n$ sin caer antes en la hoja $3$ o $6.$ Cada hoja envía probabilidad $\dfrac12$ a la siguiente hoja y $\dfrac12$ dos hojas más adelante, y las hojas $3$ y $6$ no transmiten nada.

Entonces $p(0)=1,\ p(1)=\dfrac12,\ p(2)=\dfrac34,$ y (saltando $3$ ) $p(4)=\dfrac38,\ p(5)=\dfrac{3}{16},$ luego (saltando $6$ ) $p(7)=\dfrac{3}{32},$ $\ p(8)=\dfrac{3}{64},$ $\ p(9)=\dfrac{9}{128}.$

Finalmente $\begin{gathered} p(10)=\dfrac12 p(8)+\dfrac12 p(9) \\ =\dfrac{3}{128}+\dfrac{9}{256} \\ =\dfrac{15}{256}. \end{gathered}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $p(n)$ be the probability of landing on pad $n$ without first landing on pad $3$ or $6.$ Each pad sends probability $\dfrac12$ to the next pad and $\dfrac12$ two pads ahead, and pads $3$ and $6$ pass nothing on.

Then $p(0)=1,\ p(1)=\dfrac12,\ p(2)=\dfrac34,$ and (skipping $3$ ) $p(4)=\dfrac38,\ p(5)=\dfrac{3}{16},$ then (skipping $6$ ) $p(7)=\dfrac{3}{32},$ $\ p(8)=\dfrac{3}{64},$ $\ p(9)=\dfrac{9}{128}.$

Finally $\begin{gathered} p(10)=\dfrac12 p(8)+\dfrac12 p(9) \\ =\dfrac{3}{128}+\dfrac{9}{256} \\ =\dfrac{15}{256}. \end{gathered}$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años