Question

$A,$ $B,$ y $C$ son tres montones de piedras. El peso medio de las piedras en $A$ es $40$ libras, el peso medio de las piedras en $B$ es $50$ libras, el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $B$ es $43$ libras, y el peso medio de las piedras en los montones combinados $A$ y $C$ es $44$ libras. ¿Cuál es el mayor valor entero posible para el peso medio, en libras, de las piedras en los montones combinados $B$ y $C$ ?

$A,$ $B,$ and $C$ are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in $A$ is $40$ pounds, the mean weight of the rocks in $B$ is $50$ pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $B$ is $43$ pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $C$ is $44$ pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles $B$ and $C?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Respuesta: E

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sean $a, b, c$ las cantidades; la media $43$ de $A,B$ da $7b = 3a$ .

Let $a, b, c$ be the counts; the $A,B$ mean $43$ gives $7b = 3a$

Pista grande:

Escribe la media de $B,C$ en términos de $k$ y $c$ usando $a = 7k,\ b = 3k$ y la media $44$ de $A,C$

Write the $B,C$ mean in terms of $k$ and $c$ using $a = 7k,\ b = 3k$ and the $A,C$ mean $44$

Solución:

Sean $a, b, c$ las cantidades de piedras de los montones. De $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ obtenemos $7b = 3a,$ así que $a = 7k$ y $b = 3k.$

Sea $\mu_{BC}$ la media de $B$ y $C.$ Usando la media $44$ de $A, C$ para expresar $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ hallamos $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ y por tanto $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Como $B$ es más pesado que $A,$ la media de $B$ y $C$ supera $44,$ lo que obliga a $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ es decir, $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ El valor $59$ se alcanza tomando $k=15c;$ entonces el montón $C$ tiene media $464$ y la fórmula anterior da $\mu_{BC}=59.$ Por tanto, la mayor media entera es $59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a, b, c$ be the numbers of rocks in the piles. From $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ we get $7b = 3a,$ so $a = 7k$ and $b = 3k.$

Let $\mu_{BC}$ be the mean of $B$ and $C.$ Using the $A, C$ mean $44$ to express $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ we find $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ so $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Since $B$ is heavier than $A,$ the mean of $B$ and $C$ exceeds $44,$ forcing $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ i.e. $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ The value $59$ is attainable by taking $k=15c;$ then pile $C$ has mean $464$ and the displayed formula gives $\mu_{BC}=59.$ Thus the greatest integer mean is $59.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años