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2009 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2009 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Un círculo con centro CC es tangente a los semiejes positivos xx e yy, y tangente externamente al círculo centrado en (3,0)(3, 0) de radio 1.1. ¿Cuál es la suma de todos los posibles radios del círculo con centro CC?

A circle with center CC is tangent to the positive xx- and yy-axes and externally tangent to the circle centered at (3,0)(3, 0) with radius 1.1. What is the sum of all possible radii of the circle with center C?C?

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Respuesta: D
Conceptos:circunferencias tangentesgeometría analíticaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio rr tiene centro (r,r)(r, r).

A circle tangent to both positive axes with radius rr has center (r,r)(r, r)

Pista grande:

La tangencia externa da distancia r+1r + 1 entre (r,r)(r, r) y (3,0);(3, 0); forma una ecuación cuadrática en rr y usa Vieta.

External tangency gives distance r+1r + 1 between (r,r)(r, r) and (3,0);(3, 0); form a quadratic in rr and use Vieta

Solución:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio rr tiene centro (r,r).(r, r). La tangencia externa con el círculo en (3,0)(3, 0) de radio 11 significa que la distancia entre centros es r+1r + 1: (r−3)2+r2=(r+1)2.(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.

Desarrollando se obtiene r2−8r+8=0.r^2 - 8r + 8 = 0. Ambas raíces r=4±22r = 4 \pm 2\sqrt{2} son positivas, y por las fórmulas de Vieta su suma es 8.8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A circle tangent to both positive axes with radius rr has center (r,r).(r, r). External tangency to the circle at (3,0)(3, 0) of radius 11 means the distance between centers is r+1r + 1: (r−3)2+r2=(r+1)2.(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.

Expanding gives r2−8r+8=0.r^2 - 8r + 8 = 0. Both roots r=4±22r = 4 \pm 2\sqrt{2} are positive, and by Vieta’s formulas their sum is 8.8.

Thus, the correct answer is D.

Problema 15#15
Examen completo
Problema 17#17

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