Question

El número $21!$ $= 51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ tiene más de $60{,}000$ divisores enteros positivos. Se elige uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea impar?

The number $21!$ $= 51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ has over $60{,}000$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{19}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmula de Legendre conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Halla el exponente de $2$ en $21!$ usando $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor + \lfloor \frac{21}{4} \rfloor + \cdots$

Find the exponent of $2$ in $21!$ using $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor + \lfloor \frac{21}{4} \rfloor + \cdots$

Pista grande:

Un divisor es impar si y solo si usa $2^0.$ Con exponente $e,$ los divisores impares son una fracción $\dfrac{1}{e+1}$ del total

A divisor is odd iff it uses $2^0.$ With exponent $e,$ the odd divisors are a fraction $\dfrac{1}{e+1}$ of all divisors

Solución:

El exponente de $2$ en $21!$ es $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{4} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{8} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{16} \rfloor$ $= 10 + 5 + 2 + 1$ $= 18.$ Cada divisor tiene la forma $2^i b$ con $0 \le i \le 18$ y $b$ impar; es impar exactamente cuando $i = 0.$ Así que la fracción de divisores impares es $\dfrac{1}{18 + 1} = \dfrac{1}{19}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The exponent of $2$ in $21!$ is $\lfloor \frac{21}{2} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{4} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{8} \rfloor$ $+ \lfloor \frac{21}{16} \rfloor$ $= 10 + 5 + 2 + 1$ $= 18.$ Every divisor has the form $2^i b$ with $0 \le i \le 18$ and $b$ odd; it is odd exactly when $i = 0.$ So the fraction of odd divisors is $\dfrac{1}{18 + 1} = \dfrac{1}{19}.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12B Problema 16

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años