Question

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo equiángulo de perímetro $1.$ Las intersecciones por pares de las rectas que prolongan los lados del pentágono determinan un polígono en forma de estrella de cinco puntas. Sea $s$ el perímetro de esta estrella. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor posible de $s$ ?

Let $ABCDE$ be an equiangular convex pentagon of perimeter $1.$ The pairwise intersections of the lines that extend the sides of the pentagon determine a five-pointed star polygon. Let $s$ be the perimeter of this star. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $s?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 - 1}{2}$

$\dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$

$\sqrt5$

Solución:

Un pentágono equiángulo tiene todos sus ángulos interiores $108^\circ,$ así que cada punta de la estrella es un triángulo isósceles con ángulos de la base $72^\circ$ y vértice $36^\circ.$ Por la igualdad de los ángulos de la base, cada punta aporta dos lados que son el mismo múltiplo fijo $c$ del lado del pentágono sobre el que se apoya. Sumando sobre las cinco puntas, el perímetro de la estrella es igual a $2c\cdot(\text{pentagon perimeter}) = 2c,$ independiente de las longitudes individuales de los lados. Así que $s$ es constante, y la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo es $0.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

An equiangular pentagon has all interior angles $108^\circ,$ so each point of the star is an isosceles triangle with base angles $72^\circ$ and apex $36^\circ.$ By the equal base angles, each point contributes two sides that are the same fixed multiple $c$ of the pentagon side it rests on. Summing over the five points, the star perimeter equals $2c\cdot(\text{pentagon perimeter}) = 2c,$ independent of the individual side lengths. So $s$ is constant, and the difference between its maximum and minimum values is $0.$ Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años