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2018 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

¿Cuál de las siguientes describe el conjunto de valores de aa para los que las curvas x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 y y=x2−ay = x^2 - a en el plano real xyxy se cortan en exactamente 33 puntos?

Which of the following describes the set of values of aa for which the curves x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 and y=x2−ay = x^2 - a in the real xyxy-plane intersect at exactly 33 points?

a=14a = \tfrac14

14<a<12\tfrac14 \lt a \lt \tfrac12

a>14a \gt \tfrac14

a=12a = \tfrac12

a>12a \gt \tfrac12

Respuesta: E
Conceptos:círculoparábolacuadrática
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:

A partir de y=x2−ay = x^2 - a sustituye x2=y+ax^2 = y + a en la ecuación de la circunferencia para obtener una cuadrática en yy

From y=x2−ay = x^2 - a substitute x2=y+ax^2 = y + a into the circle equation to get a quadratic in yy

Pista grande:

Una intersección es la tangencia en el vértice en x=0;x = 0; dos más requieren que x2=2a−1x^2 = 2a - 1 tenga soluciones reales no nulas

One intersection is the vertex tangency at x=0;x = 0; two more require x2=2a−1x^2 = 2a - 1 to have real nonzero solutions

Solución:

Sustituir x2=y+ax^2 = y + a en x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 da y2+y+(a−a2)=0,y^2 + y + (a - a^2) = 0, que se factoriza como (y+1−a)(y+a)=0,(y + 1 - a)(y + a) = 0, así que y=a−1y = a - 1 o y=−a.y = -a. Estos corresponden a x2=2a−1x^2 = 2a - 1 y x2=0.x^2 = 0.

La ecuación x2=0x^2 = 0 siempre da el único punto (0,−a),(0, -a), el vértice de la parábola. La ecuación x2=2a−1x^2 = 2a - 1 da dos puntos más exactamente cuando 2a−1>0,2a - 1 \gt 0, es decir a>12.a \gt \tfrac12. Así que hay 33 puntos de intersección precisamente cuando a>12.a \gt \tfrac12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting x2=y+ax^2 = y + a into x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 gives y2+y+(a−a2)=0,y^2 + y + (a - a^2) = 0, which factors as (y+1−a)(y+a)=0,(y + 1 - a)(y + a) = 0, so y=a−1y = a - 1 or y=−a.y = -a. These correspond to x2=2a−1x^2 = 2a - 1 and x2=0.x^2 = 0.

The equation x2=0x^2 = 0 always gives the single point (0,−a),(0, -a), the vertex of the parabola. The equation x2=2a−1x^2 = 2a - 1 gives two more points exactly when 2a−1>0,2a - 1 \gt 0, i.e. a>12.a \gt \tfrac12. So there are 33 intersection points precisely when a>12.a \gt \tfrac12.

Thus, the correct answer is E.

Problema 15#15
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