Question

Se elige un punto $P$ al azar en el interior del triángulo equilátero $ABC.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\triangle ABP$ tenga mayor área que cada uno de $\triangle ACP$ y $\triangle BCP$ ?

A point $P$ is chosen at random in the interior of equilateral triangle $ABC.$ What is the probability that $\triangle ABP$ has a greater area than each of $\triangle ACP$ and $\triangle BCP?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Los triángulos $\triangle ABP,$ $\triangle ACP,$ y $\triangle BCP$ tienen bases iguales (los lados del triángulo equilátero), así que sus áreas son proporcionales a las distancias de $P$ a esos lados.

Por la simetría de orden tres del triángulo equilátero, $\triangle ABP$ es el más grande con la misma probabilidad que cada uno de los otros dos, así que esa probabilidad es $\dfrac13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles $\triangle ABP,$ $\triangle ACP,$ and $\triangle BCP$ have equal bases (the sides of the equilateral triangle), so their areas are proportional to the distances from $P$ to those sides.

By the threefold symmetry of the equilateral triangle, $\triangle ABP$ is the largest with the same probability as each of the other two, so that probability is $\dfrac13.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años