Question

Supón que $x$ e $y$ son números reales positivos tales que

$x^y = 2^{64}$ y $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

¿Cuál es el mayor valor posible de $\log_2 y$ ?

Suppose $x$ and $y$ are positive real numbers such that

$x^y = 2^{64}$ and $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

What is the greatest possible value of $\log_2 y?$

$3$

$4$

$3 + \sqrt2$

$4 + \sqrt3$

$7$

Solución:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y.$ Tomando $\log_2$ de $x^y = 2^{64}$ se obtiene $y \log_2 x = 64,$ es decir, $a \cdot 2^b = 2^6.$

Tomando $\log_2$ de la segunda ecuación se obtiene $b \log_2 a = 7,$ así que $a = 2^{7/b}.$ Sustituyendo, $2^{7/b} \cdot 2^b = 2^6,$ así que $b + \dfrac7b = 6,$ es decir, $b^2 - 6b + 7 = 0.$

Así, $b = 3 \pm \sqrt2,$ y el mayor valor de $\log_2 y$ es $3 + \sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Taking $\log_2$ of $x^y = 2^{64}$ gives $y \log_2 x = 64,$ i.e. $a \cdot 2^b = 2^6.$

Taking $\log_2$ of the second equation gives $b \log_2 a = 7,$ so $a = 2^{7/b}.$ Substituting, $2^{7/b} \cdot 2^b = 2^6,$ so $b + \dfrac7b = 6,$ i.e. $b^2 - 6b + 7 = 0.$

Thus $b = 3 \pm \sqrt2,$ and the greatest value of $\log_2 y$ is $3 + \sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años