Question

¿Cuántos números de tres dígitos están compuestos por tres dígitos distintos tales que uno de los dígitos es el promedio de los otros dos?

How many three-digit numbers are composed of three distinct digits such that one digit is the average of the other two?

$96$

$104$

$112$

$120$

$256$

Solución:

Los tres dígitos distintos forman una progresión aritmética creciente. Contando por diferencia común: $8$ con diferencia $1,$ $6$ con diferencia $2,$ $4$ con diferencia $3,$ y $2$ con diferencia $4,$ para $20$ conjuntos.

De estos, $4$ conjuntos contienen $0$ (a saber $\{0,1,2\},$ $\{0,2,4\},$ $\{0,3,6\},$ $\{0,4,8\}$ ); cada uno produce $2\cdot 2!=4$ números válidos, ya que $0$ no puede ir al inicio.

Los otros $16$ conjuntos producen cada uno $3!=6$ números. El total es $4\cdot 4+16\cdot 6=112.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The three distinct digits form an increasing arithmetic progression. Counting by common difference: $8$ with difference $1,$ $6$ with difference $2,$ $4$ with difference $3,$ and $2$ with difference $4,$ for $20$ sets.

Of these, $4$ sets contain $0$ (namely $\{0,1,2\},$ $\{0,2,4\},$ $\{0,3,6\},$ $\{0,4,8\}$ ); each yields $2\cdot 2!=4$ valid numbers since $0$ cannot lead.

The other $16$ sets each yield $3!=6$ numbers. The total is $4\cdot 4+16\cdot 6=112.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años