Question

Sea $P$ un polinomio cúbico con $P(0) = k,$ $P(1) = 2k,$ y $P(-1) = 3k.$ ¿Cuánto vale $P(2) + P(-2)$ ?

Let $P$ be a cubic polynomial with $P(0) = k,$ $P(1) = 2k,$ and $P(-1) = 3k.$ What is $P(2) + P(-2)?$

$0$

$k$

$6k$

$7k$

$14k$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ usando $P(0)=k$ .

Write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k$ using $P(0)=k$

Pista grande:

Sumar $P(1)$ y $P(-1)$ despeja $b,$ y $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$ .

Adding $P(1)$ and $P(-1)$ isolates $b,$ and $P(2)+P(-2) = 8b + 2k$

Solución:

Como $P(0) = k,$ escribe $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.$

Entonces $P(1) = a+b+c+k = 2k$ y $P(-1) = -a+b-c+k = 3k.$ Sumando estas se obtiene $2b + 2k = 5k,$ así que $2b = 3k.$

Los términos de potencia impar se cancelan en la suma: $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}$ Como $8b = 4(2b) = 12k,$ esto es igual a $12k + 2k = 14k.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $P(0) = k,$ write $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + k.$

Then $P(1) = a+b+c+k = 2k$ and $P(-1) = -a+b-c+k = 3k.$ Adding these gives $2b + 2k = 5k,$ so $2b = 3k.$

The odd-power terms cancel in the sum: $\begin{gathered} P(2)+P(-2) \\ = (8a+4b+2c+k) \\ {}+ (-8a+4b-2c+k) \\ = 8b + 2k. \end{gathered}$ Since $8b = 4(2b) = 12k,$ this equals $12k + 2k = 14k.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años