Question

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado en el plano coordenado cuyos vértices son $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ y $(0, 2020).$ La probabilidad de que el punto esté a menos de $d$ unidades de un punto de la red es $\tfrac12.$ (Un punto $(x, y)$ es un punto de la red si $x$ e $y$ son ambos enteros.) ¿Cuánto vale $d$ redondeado a la décima más cercana?

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac12.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Solución:

Por periodicidad basta considerar una celda unitaria con un punto de la red en cada esquina. La región que está a menos de $d$ de una esquina consta de cuatro cuartos de disco de radio $d,$ que forman un disco completo de área $\pi d^2.$

Haciendo $\pi d^2 = \tfrac12$ se obtiene $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.$

Redondeado a la décima más cercana, $d = 0.4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within $d$ of a corner consists of four quarter-disks of radius $d,$ forming one full disk of area $\pi d^2.$

Setting $\pi d^2 = \tfrac12$ gives $d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.$

To the nearest tenth, $d = 0.4.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años