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2020 AMC 12A Problema 16

Intenta el Problema 16 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado en el plano coordenado cuyos vértices son (0,0),(0, 0), (2020,0),(2020, 0), (2020,2020),(2020, 2020), y (0,2020).(0, 2020). La probabilidad de que el punto esté a menos de dd unidades de un punto de la red es 12.\tfrac12. (Un punto (x,y)(x, y) es un punto de la red si xx e yy son ambos enteros.) ¿Cuánto vale dd redondeado a la décima más cercana?

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are (0,0),(0, 0), (2020,0),(2020, 0), (2020,2020),(2020, 2020), and (0,2020).(0, 2020). The probability that the point is within dd units of a lattice point is 12.\tfrac12. (A point (x,y)(x, y) is a lattice point if xx and yy are both integers.) What is dd to the nearest tenth?

0.30.3

0.40.4

0.50.5

0.60.6

0.70.7

Respuesta: B
Conceptos:probabilidad geométricaárea del círculopunto reticular
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:

Por periodicidad, concéntrate en un único cuadrado unitario con un punto de la red en cada esquina

By periodicity, focus on a single unit square with a lattice point at each corner

Pista grande:

Los cuatro cuartos de disco en una celda unitaria forman un disco completo de radio d;d; iguala su área a 12\tfrac12.

The four quarter-disks in one unit cell form one full disk of radius d;d; set its area to 12\tfrac12

Solución:

Por periodicidad basta considerar una celda unitaria con un punto de la red en cada esquina. La región que está a menos de dd de una esquina consta de cuatro cuartos de disco de radio d,d, que forman un disco completo de área πd2.\pi d^2. El valor resultante será menor que 12,\tfrac12, así que estos cuartos de disco no se solapan.

Haciendo πd2=12\pi d^2 = \tfrac12 se obtiene d=12π≈0.399.d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.

Redondeado a la décima más cercana, d=0.4.d = 0.4.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

By periodicity it suffices to consider one unit cell with a lattice point at each corner. The region within dd of a corner consists of four quarter-disks of radius d,d, forming one full disk of area πd2.\pi d^2. The resulting value will be less than 12,\tfrac12, so these quarter-disks do not overlap.

Setting πd2=12\pi d^2 = \tfrac12 gives d=12π≈0.399.d = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \approx 0.399.

To the nearest tenth, d=0.4.d = 0.4.

Thus, B is the correct answer.

Problema 15#15
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Problema 17#17

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