Question

Un tablero de ajedrez de $13$ filas y $17$ columnas tiene un número escrito en cada casilla, empezando en la esquina superior izquierda, de modo que la primera fila se numera $1, 2, \ldots, 17,$ la segunda fila $18, 19, \ldots, 34,$ y así sucesivamente hacia abajo del tablero. Si el tablero se renumera de modo que la columna izquierda, de arriba abajo, sea $1, 2, \ldots, 13,$ la segunda columna $14, 15, \ldots, 26$ y así sucesivamente a lo ancho del tablero, algunas casillas tienen los mismos números en ambos sistemas de numeración. Halla la suma de los números de estas casillas (bajo cualquiera de los sistemas).

A checkerboard of $13$ rows and $17$ columns has a number written in each square, beginning in the upper left corner, so that the first row is numbered $1, 2, \ldots, 17,$ the second row $18, 19, \ldots, 34,$ and so on down the board. If the board is renumbered so that the left column, top to bottom, is $1, 2, \ldots, 13,$ the second column $14, 15, \ldots, 26$ and so on across the board, some squares have the same numbers in both numbering systems. Find the sum of the numbers in these squares (under either system).

$222$

$333$

$444$

$555$

$666$

Solución:

La casilla $(m, n)$ se numera $17(m - 1) + n$ originalmente y $13(n - 1) + m$ tras la renumeración. Igualarlos da $4m - 3n = 1.$

Las soluciones con $1 \le m \le 13$ y $1 \le n \le 17$ son $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ y $(13, 17).$

Estas casillas contienen los números $1, 56, 111, 166,$ y $221,$ cuya suma es $555$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The square $(m, n)$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after renumbering. Setting these equal gives $4m - 3n = 1.$

The solutions with $1 \le m \le 13$ and $1 \le n \le 17$ are $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ and $(13, 17).$

These squares hold the numbers $1, 56, 111, 166,$ and $221,$ whose sum is $555.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 12 Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años