Question

Ocho esferas de radio $1,$ una por octante, son cada una tangentes a los planos coordenados. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña, centrada en el origen, que contiene estas ocho esferas?

Eight spheres of radius $1,$ one per octant, are each tangent to the coordinate planes. What is the radius of the smallest sphere, centered at the origin, that contains these eight spheres?

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$1 + \sqrt{2}$

$1 + \sqrt{3}$

$3$

Solución:

Una esfera de radio $1$ tangente a los tres planos coordenados en un octante tiene su centro en un punto como $(1, 1, 1),$ a distancia $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3$ del origen.

El punto de esa esfera más lejano del origen está a distancia $\sqrt3 + 1,$ así que la esfera que las contiene tiene radio $1 + \sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A sphere of radius $1$ tangent to the three coordinate planes in one octant has its center at a point like $(1, 1, 1),$ at distance $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt3$ from the origin.

The farthest point of that sphere from the origin is at distance $\sqrt3 + 1,$ so the containing sphere has radius $1 + \sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años