Question

Se construyen tres semicírculos de radio $1$ sobre el diámetro $\overline{AB}$ de un semicírculo de radio $2.$ Los centros de los semicírculos pequeños dividen $\overline{AB}$ en cuatro segmentos de igual longitud, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada que está dentro del semicírculo grande pero fuera de los semicírculos más pequeños?

Three semicircles of radius $1$ are constructed on diameter $\overline{AB}$ of a semicircle of radius $2.$ The centers of the small semicircles divide $\overline{AB}$ into four line segments of equal length, as shown. What is the area of the shaded region that lies within the large semicircle but outside the smaller semicircles?

$\pi - \sqrt{3}$

$\pi - \sqrt{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Solución:

El semicírculo grande tiene área $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.$

Donde los semicírculos pequeños se superponen, los adyacentes se encuentran en puntos que están a distancia $1$ de dos centros, formando triángulos equiláteros. La región removida del semicírculo grande consta de cinco sectores congruentes de $60^\circ$ de radio $1,$ cada uno de área $\dfrac{\pi}{6},$ junto con dos triángulos equiláteros de lado $1,$ cada uno de área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

El área sombreada es $\begin{aligned} &2\pi - 5\cdot\frac{\pi}{6} - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The large semicircle has area $\dfrac{1}{2}\pi(2)^2 = 2\pi.$

Where the small semicircles overlap, adjacent ones meet at points a distance $1$ from two centers, forming equilateral triangles. The region removed from the large semicircle consists of five congruent $60^\circ$ sectors of radius $1,$ each of area $\dfrac{\pi}{6},$ together with two equilateral triangles of side $1,$ each of area $\dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

The shaded area is $\begin{aligned} &2\pi - 5\cdot\frac{\pi}{6} - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{7}{6}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 12B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años