Question

Un octágono regular $ABCDEFGH$ tiene un área de una unidad cuadrada. ¿Cuál es el área del rectángulo $ABEF$ ?

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Sea $O$ el centro del octágono, que es el punto medio de la diagonal $AE$

Let $O$ be the center of the octagon, which is the midpoint of diagonal $AE$

Pista grande:

$\triangle AOB$ es uno de los ocho triángulos desde el centro, así que tiene área $\dfrac{1}{8}$

$\triangle AOB$ is one of the eight triangles from the center, so it has area $\dfrac{1}{8}$

Solución:

Sea $O$ el centro del octágono. Al unir $O$ con los vértices se divide el octágono en $8$ triángulos congruentes, así que $\triangle AOB$ tiene área $\dfrac{1}{8}.$

Como $O$ es el punto medio de $\overline{AE},$ los triángulos $AOB$ y $BOE$ tienen áreas iguales, así que $\triangle ABE$ tiene área $\dfrac{1}{4}.$

El rectángulo $ABEF$ queda dividido por la diagonal $\overline{BE}$ en dos triángulos congruentes, así que $\triangle ABE$ es la mitad de él. Por lo tanto $ABEF$ tiene área $\dfrac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center of the octagon. Joining $O$ to the vertices splits the octagon into $8$ congruent triangles, so $\triangle AOB$ has area $\dfrac{1}{8}.$

Since $O$ is the midpoint of $\overline{AE},$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal areas, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac{1}{4}.$

The rectangle $ABEF$ is split by diagonal $\overline{BE}$ into two congruent triangles, so $\triangle ABE$ is half of it. Hence $ABEF$ has area $\dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años